西南联大时的陈省身教授

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西南联大时的陈省身教授

来源：NK 数院 数学大院 2024 年 10 月 24 日 19:30 北京


陈省身夫妇与严志达夫妇合影（左起严志达、陈省身、陈省身夫人郑士宁、严志达夫人）

1937 年夏，卢沟桥事变后，日寇发动了全面的侵华战争，不久平津沦陷，抗战的烽火燃遍整个中原。清华大学，北京大学和南开大学拟议在长沙组成临时大学。后来由于战局的发展，长沙告急，始再转徙至云南昆明，成立西南联合大学，简称西南联大。

“支离东北风尘际，飘泊西南天地间”，抗战将当时国内外的人才，聚集到边远的山城，所以昆明一时成了西南人文荟萃之都。西南联大更是文、史、哲、科技人才集中的地方。就数学、物理方面而言，特别值得提出的是一批年青的教授，刚从国外留学回国，他们多是在国外最著名的学府，学有专长，十分活跃的青年科学家。他们后来对我国及世界科学有着重要的影响。就我记忆所及的有数学家陈省身、华罗庚、许宝騄、蒋硕民、程毓淮、江泽涵，物理学家王竹溪、吴大猷等。我当时仅是对数学、物理有兴趣的二年级学生，选过他们的课，和他们来往较多。特别是陈省身先生，自 1938 年学校成立至 1943 年他去 Princeton（普林斯顿）访问止，一直在他的指导下学习，受益尤深。

陈先生在西南联大数学系影响之深，主要由于他在科学研究方面的深厚造诣和真知卓识，还由于他在教育方面的循循善诱，平易近人。所以当时他的讨论班是参加人数最多的集体。经常参加的青年助教有孙本旺、王湘浩、孙树本、龙季和、陈鸿远等，学生有王宪钟、朱德祥、我以及以后的吴光磊等。这些人都深受陈省身先生的影响，视他为良师益友。而且他们以后的研究工作也都是以微分几何、拓扑学等有关学科为中心，在各自的工作岗位上，作出了应有的贡献。其中如王宪钟在微分几何，李群理论方面，有不少开创性的工作，尤为特出的代表。

今日，回忆 60 年前往事，恍然犹如昨日。而 60 年来，几经世事沧桑，天地翻覆，昔日师友，凋零殆尽，思之不胜怆然。唯陈先生以松柏之姿，巍然独健，犹对于数学之发展，关心备至；领袖群伦，奖励后进，不遗馀力。我有幸得为陈先生在西南联大时期的教学科研工作，聊记）泥鸿爪，至感欣慰。但自思才疏学浅，管窥蠡测，其见讥于读者自属意料中事耳。

初见到陈省身先生并给我留下深刻的印象应该追忆到一次数学会的报告会。当时西南联大成立不久，在昆明尚无数学会的组织，但数学方面的报告会却不少。那次由江泽涵先生主持会议，参加者差不多所有在昆明的数学工作者，陈先生报告的内容是等价问题（problemed'equiva-lence），主要介绍 E.Cartan（嘉当）在其《选集》的一篇著名的纲领性文章。等价问题总结了当时微分几何所有重要工作，将其纳入一个统一的结构。应该指出陈省身先生在这方面已是有精深研究的学者，如关于多维 Gewebe（网）的等价问题，以及某种三阶微分方程几何方面的研究等。他的这些工作，深得当时数学界的高度评价。所以这次演讲，是一次非常重要的演讲。事实证明等价问题的思想对以后我国数学界微分几何工作者的影响很深，此地就不加详述了。陈先生本人直至最近还将这方面的理论应用 Finsler（芬斯勒）几何，做出了极为基础性的工作。揭示了 Finsler（芬斯勒）几何的深刻内涵。

对于陈先生的教学科研工作，应该从他在西南联大所开设的课程和讨论班的内容去认识。1939 年第一次所开的黎曼几何课程，主要是讲授 E.Cartan（嘉当）的《La geometrie des espaces de Riemann》（《黎曼空间的几何》）一书。应该指出，Cartan（嘉当）这一著作包括很多他的重要思想，是一本有深刻内容的书。由于对于拓扑学及现代微分几何的许多重要概念，当时尚未臻于成熟；如微分流形的概念，纤微丛以及与之有关的 con-nection（联络）等概念。所以要很好理解 Cartan（嘉当）书中的许多内容是非常困难的。应该说陈省身先生由于他精深的研究，敏锐的观察，使这门功课讲得非常成功。听者得到了很大的收益。我觉得像被引入了科学的殿堂，八宝楼台，眩人耳目。不但使学者产生了浓厚的兴趣，而且为继续学习微分几何，拓扑等现代数学的重要分支，打下了坚实的基础。为了更好的理解和应用，他还介绍了不少关于张量的具体实例，使课程增加了趣味性和实用性。

此外陈先生的另一门课讲授 W.Blaschke（布拉施克）：Differential geometrieⅢ（微分几何三）的内容，这也是一门极富兴趣的课程。特别对各种不同连续群几何的讨论，真是千山竞秀，万壑争流，非常引人入胜。

正如陈省身先生所说，他是在西南联大首先介绍和提倡李群理论的。在他的讨论班中曾利用了一段时间，系统讲述了李群的基础理论：Lie（李）的基本定理。就我记忆所及他讲的内容是经过一番精心组织的，并印出了详尽的讲义。这就使在当时还比较难懂的这一重要理论，大家能够学深学透。我就曾多次重复读过他的讲义。

在他的讨论班里还用了相当多的时间讨论 Pfaffian system（普法夫系统）的问题，特别是所谓的 Cartan-Kahler（嘉当 - 凯勒）理论。这样就使李群理论和等价问题的研究，提到了一个更深入的基础上。最后在结束本文时，不得不使人谈到积分几何。积分几何无疑是数学中的瑰宝。它的许多结果，其完美性可称无与伦比。当我初次拜访陈先生时，他就给了我一本 W.Blaschke（布拉施克）所著的《Integral geormetrie》（《积分几何》）上册，令我去研读。后来对该书内容很感兴趣，又读了该书的下册。发现了 W.B1aschke（布拉施克）的主要工作在高维空间内也有非常简单完美的结果。在陈先生的大力帮助和指导下完成了作为 Blaschke（布拉施克）公式的推广，陈 - 严公式。后来陈先生还多次就这方面作过更深入的研究。

陈省身先生对于积分几何有他独特的见解，这就是对于任意李群及其商空间的积分几何的创立。这个工作后来在《Annals of Math》（《数学年刊》，公认为当时最重要的数学杂志）上发表。数学家 A.Wei1 认为是积分几何发展中最为重要的工作。的确，在当时积分几何的研究中，尚未有人涉及这方面的讨论。陈省身得到了关于某些子流形测度存在的条件以及 Crofton（克罗夫顿）公式的推广等重要的结果。

虽然积分几何与拓扑学、大范围微分几何的关系不大，但是当时在陈先生的指导下我们还是从积分几何的讨论中逐渐引入了对拓扑学的兴趣。首先是 Euler（欧拉）示性数的微分几何表示问题。在经典微分几何学中有所谓的 Gauss-Bonnet（高斯 - 博内）公式，给出了曲面的 Euler（欧拉）示性数与 Gauss（高斯）曲率的关系。对于一般的高维曲面有 Fenchel（芬切尔）、Weil（韦伊）等人的工作。为深入研究并解决更一般的问题，陈省身先生在教学中开始了拓扑学的系统讲授。可惜我那时已离开西南联大，未曾亲聆他的课程。但仍保持了与他的接触和讨论。事实上陈省身先生在 Euler（欧拉）示性数以及更广义的所谓示性类（characteristicclass）方面的工作即现在所谓的陈类（Chernclass）的光辉成就，在这时已经逐渐孕育和形成了。

事后想来，陈先生于 1937 至 1943 年的数学活动充分达到了世界水平，有些方面甚至走在国际的前面。他于 1943 年秋去 Princeton（普林斯顿）的 Institute for Advanced Study（高等研究院），不到半年，即作了 Gauss-Bonnet（高斯 - 博内）公式及陈省身示性类的基本贡献，是积累的了解，不是偶然的心得。西南联大给了陈先生重要的准备。

最近的发展是，陈示性类在固态物理有重要的应用。固态物理大约是规范场，所以陈省身的纤维丛就成了数学基础。

（1997 年 1 月 15 日于加州）

本文根据南通档案馆保存的文稿整理，载于“NK 数院”公众号（2019 年 05 月 02 日），“数学大院”整理发布。

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