大器晚成的现代分析学之父——外尔斯特拉斯

luyuanhong

大器晚成的现代分析学之父——外尔斯特拉斯

作者 | 杜瑞芝

来源 | 数学家辞典读者之家

卡尔·外尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）出生于一个普通的海关官员家庭。父亲是一位虔诚的天主教徒，早年曾当过教师。卡尔是父亲的长子，他还有一个弟弟和两个妹妹。



卡尔于 1829 年考入一所天主教文科学校。该校历史悠久，创建于公元 820 年。卡尔从小天资过人，在学校里深得老师和同学的喜爱。他总能用少于规定的时间学完每门课程，而且所有课程的成绩都很优秀。在所学的功课中，他最喜欢数学，而在拉丁文、希腊文和德文等科目中表现也十分突出。获得过多种奖章和奖金，高中毕业时获得甲等毕业文凭。

他的父亲——老外尔斯特拉斯是一个务实的理想主义者，他正直，但很顽固，在家庭里具有支配一切的权威，特别对子女十分专横。高中毕业后，父亲送他到波恩大学去学法律和财经，希望他将来能当一名高级的文职官员。但是卡尔十分讨厌商人的欺诈和律师的诡辩，尽管对父亲的安排很不满，但他必须服从。入校后他一反常态，根本不用心学习专业，而是把时间和精力放在击剑、饮酒和结交朋友上。因为喜欢数学，闲暇时他开始自学拉普拉斯的《天体力学》、雅可比的《椭圆函数论的新基础》和阿贝尔的著名论文。这些著作为他后来从事数学研究奠定了基础。

四年之间，卡尔结交了许多朋友，并成为一名百战百胜的击剑手，他常以魔鬼般的准确、闪电般的速度击败对手。同时他也形成了独立自主的个性，他立志把一生献给数学。他在大学里度过了 8 个学期，既没有参加法律系的毕业考试，也没有获得相应学位，两手空空回到了家里，受到父亲严厉的谴责。这件事对老外尔斯特拉斯来说也是一个很大的教训。在一位朋友的建议下，他决定改变主意，让儿子做教师，并送儿子到明斯特学院去准备教师资格的国家考试。

1838-1840年，外尔斯特拉斯在明斯特学院学习数学与物理，遇到了使他终生难忘的数学教授克利斯托夫·古德曼（1798--1852）。古德曼当时正热衷于椭圆函数论的研究，他的指导思想是把函数展开成幂级数来研究，这成为后来外尔斯特拉斯进行解析函数论研究的起点。外尔斯特拉斯有幸参加古德曼关于椭圆函数论的讲座，成为古德曼的学生。第一堂课有 13 位学生，可从第二堂课起就只剩下外尔斯特拉斯一个人了。古德曼很高兴还有一位听众，他鼓励这位年轻人，并悉心指导他，师生相处得十分融洽。通过古德曼的指导，外尔斯特拉斯才很好地领会了雅可比关于椭圆函数的工作。古德曼还为他唯一的学生讲授解析球面几何学。

第二年，外尔斯特拉斯报名参加国家考试，考试分口试和笔试两部分。笔试部分要求在 6 个月内完成三篇论文。其中古德曼为外尔斯特拉斯指定了一个很难的题目——求椭圆函数的幂级数展开式。外尔斯特拉斯深入研究，获得了极大的成功——他把椭圆函数表示成幂级数的商，这篇论文推进了椭圆函数的理论研究。

古德曼对外尔斯特拉斯呈交的数学论文给予了高度的评价。他在给校方的报告中指出:“这个问题对于一个年轻的分析学者来说是过于困难了，但是外尔斯特拉斯做得非常出色。他完全可以与这门理论的享有盛名的发现者相提并论！”古德曼还建议校方，不要让这位年轻人当中学教师，应该把他推荐到高等学校去发挥作用。但是校方并没有采纳他的建议，外尔斯特拉斯得到了一份中学教师的资格证书。在这以后，外尔斯特拉斯当了14年的中学教师。他什么课都教过，除数学、物理外，还教历史、地理、德语、书法……，甚至还教过体育！

外尔斯特拉斯身体健壮，毅力惊人。他能随遇而安，但志向不改。在当中学教师期间，他没有做出一副怀才不遇的样子，而是待人亲切和蔼，富于幽默感。他不修边幅，真诚质朴，他的所有中学的同事都认为他是一个地地道道的好人，一位快活的酒肉朋友。

但是，除了偶尔与一些酒友夜间出游外，他在大多数夜晚，都与他的同伴们不知道的另一个“神交”——“阿贝尔”在一起。他常和“阿贝尔”一起熬夜——阿贝尔的著作永远在他手边。他对阿贝尔无限钦佩，他从阿贝尔的著作中发现了永恒的、不朽的东西。当他成为世界上第一流的分析学家和欧洲最伟大的数学家时，他对他的每一个学生的第一个忠告都是:“读读阿贝尔！”

中学里的研究条件极差，既无图书，又无同志，经济拮据，信息不通。但是外尔斯特拉斯自强不息，在这种环境中他竟锤炼出自己独特的个性和思想方法。他以批判的目光审视着分析学的每一个领域，成为把严格的论证引进分析学的一位大师。他在这一时期的潜心研究，为他后来做出的重要贡献奠定了基础。这期间他留下了许多珍贵的论文手稿，其中大部分在他成名之后才正式发表。

外尔斯特拉斯总是推迟发表自己的工作，倒不是因为厌恶发表，而是力求以崭新的途径，使结论建立在牢固的基础上。他反复推敲自己的观念、理论和方法，直到他认为已达到它们理应具有的自然完美的方式为止，所以他正式发表的论文数量并不多。这或许也是他迟迟未被数学界发现的原因吧。

1842 至 1843 年间，他在乡村中学不定期发行的《教学大纲》上发表了一篇题为《关于解析因子的注记》的文章。这个问题曾困扰着许多老分析学家，外尔斯特拉斯圆满地解决了这个问题。但这种印刷品上的文章当然不会引起人们的注意。

1848 至 1849 年间，他又在另一所中学的《教学大纲》上发表了一篇《关于阿贝尔积分论》，这是一篇有划时代意义的论文，可惜仍然无人觉察。

1854 年的努力使他获得了成功。这一年，他把经多年精心研究并解决了的关于阿贝尔和雅可比留下来的难题的结果写成论文《阿贝尔函数论》，投到著名的《克雷尔杂志》（由德国数学家克雷尔（1780-1855）创办的数学杂志，许多著名数学家都是经过该杂志的帮助而崛起的）上，这一次轰动了整个数学界！

一篇出自一位默默无闻的乡村中学教师之手的杰作！在柏林没有任何人知道他!！更令人惊奇的是，如此完满的工作竟由一位孤独的研究者个人完成，他从来没有发表过任何最初的进展情况，而是以令人钦佩的克制，把一切都暂时保留着，待到成熟时让它一鸣惊人！

请看数学界的反映吧！

柯尼斯堡大学教授，雅可比的继任者里歇洛（1808-1875）立即意识到了外尔斯特拉斯做了些什么，他马上说服校方授予外尔斯特拉斯荣誉博士学位，并亲自前往乡村中学颁发学位证书。

《克雷尔杂志》的主编博尔夏特（1817-1880）随即赶赴乡村中学，向外尔斯特拉斯表示祝贺，并从此开始了两人长达 20 年之久的友谊（直到博尔夏特去世）。

1855 年，教育部提升外尔斯特拉斯为高级教师，并放他一年的假让他从事科研工作。

1856 年 6 月，柏林皇家综合工科学校任命外尔斯特拉斯为数学教授，柏林大学任命他为副教授（1865 年成为教授），同年 11 月他当选为柏林科学院院士。

在外尔斯特拉斯 40 岁时，德国数学界终于发现了这位当代最伟大的分析学家。大器晚成的外尔斯特拉斯从此成为一位举世瞩目的数学家。他不仅对椭圆函数论和阿贝尔函数论进行过重要研究，还以图片语言系统建立了分析学的严谨基础，逐步完成了数学分析的算术化；他以其富有独创性的方法，首次以不依赖于几何直观的严格方式阐述和论证复变函数论，奠定了解析函数论的基础。外尔斯特拉斯治学严谨，推理细致。他总是反复推敲自己的观点、理论和方法，使理论建立在牢固的基础之上。他所建立的分析学，仿佛是座自下而上建筑的坚实而完美的数学大厦，他也因此被誉为“现代分析之父”。“外尔斯特拉斯的严格性”已成为现代数学的标志。20 世纪最伟大的数学家希尔伯特（1862-1943）认为:“外尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极限、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难。今天分析学达到如此和谐、可靠和完美的程度，本质上应归功于外尔斯特拉斯的科学活动。”

【数学名言】

“一个没有几分诗人才气的数学家，永远不会成为一个完全的数学家。”

——外尔斯特拉斯（K. Weierstrass，1815—1897）

数学家只有在他内心感到真实的美时才是完美的。

——（德国作家）歌德（J. W. Von Goethe，1749-1832）

好玩的数学 2025 年 01 月 16 日 23:00 江西