黎曼的数学世界：无限可能的探索

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黎曼的数学世界：无限可能的探索

原创 白鹤 数学和 AI Teach 2024 年 12 月 17 日 23:57 北京

      在哥廷根大学的校园里，黎曼不仅沉浸在哲学的海洋中，还对 W.韦伯的实验物理课充满了浓厚的兴趣。他如同一位探险家，深入研究赫尔巴特的哲学思想，并在 1850 年得出了一个革命性的结论：他相信能够构建出一套完整的数学理论，这套理论能够从最基本的质点定律出发，延伸到我们所观察到的连续空间中的各种物理过程，无论是引力、电磁还是热学。这表明黎曼对于物理中的“超距作用”理论持怀疑态度，而更倾向于接受场论的观点。



      同年秋天，黎曼加入了一个由韦伯、乌尔利希、斯特恩和利斯亭新成立的数学物理学讨论班。在这个讨论班中，物理实验占据了他大量的时间，甚至影响了他的博士论文进度。然而，利斯亭的拓扑学思想对黎曼产生了深远的影响。利斯亭在高斯的影响下，于 1848 年出版了《拓扑学初步研究》，这是拓扑学领域的开山之作。

       到了 1851 年 11 月初，黎曼在高斯的指导下提交了他的博士论文《单复变函数一般理论基础》，并在 12 月 10 日成功通过答辩，获得了博士学位。高斯对黎曼的博士论文给予了极高的评价，他说：“黎曼先生的论文不仅满足了博士论文的所有要求，而且在很多方面都超出了这些标准。文章清晰、简洁，某些部分非常出色，大多数读者会喜欢这种更清晰的结构。”

      黎曼的这段学术旅程，就像是一场精彩的科学探险，每一步都充满了发现和创新，最终在数学的殿堂中留下了自己的印记。在获得博士学位后，黎曼并没有急于填补哥廷根大学教授助手的空缺，而是选择了一条更具挑战性的道路——追求讲师资格。为此，他计划撰写一篇探讨三角级数（也就是我们熟知的傅立叶级数）的论文。

       1852 年秋天，数学界的巨擘狄利克雷来到了哥廷根度假，这对黎曼来说是一个难得的机遇。黎曼抓住机会，向狄利克雷请教自己的论文。他后来回忆说：“狄利克雷与我进行了两小时的深入对话，他甚至把他的笔记赠予我，这些笔记正是我撰写就职论文所需的宝贵资料。若非如此，我可能需要在图书馆里花费大量时间进行艰苦的研究。他还亲自陪我审阅我的论文，对我表现出了极大的友好。考虑到我们之间的地位差异，我从未敢奢望这样的待遇，我真心希望他能记住我。”

       到了 1853 年，黎曼的注意力又被数学物理的问题所吸引，这让他暂时搁置了论文的写作。直到年底，他才终于完成了这篇重要的就职论文。这些事情展现了黎曼对数学的热爱和追求，以及他在学术道路上的坚持和努力。同时，也揭示了学术界前辈对后辈的慷慨支持和鼓励，这种传承和互助是科学进步的重要推动力。

      在黎曼迈向他梦寐以求的无薪讲师职位的道路上，还有一道关卡需要跨越——一场实验性的演讲。他精心准备了三个演讲题目，悄悄希望系里能选中他已准备充分的前两个。然而，命运似乎喜欢开玩笑，他无意中提出的第三个题目——“几何学基础”，这个题目恰恰是高斯深思熟虑了六年之久的课题，而黎曼对此却准备不足。出乎意料的是，高斯偏偏选中了这个题目。



      1854 年，黎曼的演讲“论作为几何基础的假设”不仅在数学史上留下了浓墨重彩的一笔，其表达之精准也堪称典范。高斯对此感到异常兴奋，他认为黎曼的成果远远超出了他的预期。在演讲结束后，高斯向威廉和韦伯表达了他对黎曼思想的高度赞赏，这种热情洋溢的谈话对于一向内敛的高斯来说，实在是难得一见。

      这个故事不仅展示了黎曼在数学上的卓越才华，也揭示了即使是最杰出的学者，也会在不经意间被命运推上一条全新的道路，而这条路可能会带来意想不到的成就。高斯的罕见热情，更是对黎曼工作的最高认可，也为这段学术佳话增添了一抹传奇色彩。

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