一阶微分形式不变性的证明为什么要使用复合函数求导法则？

wufaxian

我对下方的“一阶微分形式不变性”证明，我有个疑问。既然只是为了证明给定条件下， \(\mathrm{d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u\) 这个结论。那我完全可以根据给定条件：\(y=f(u)\) 在点 \(u(u=\varphi(x))\) 处可微 直接得出 \(\mathrm{d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u\) 这个结论，因为这就是微分的定义啊！为什么非要使用复合函数求导法则？

当然如果非要证明\(\mathrm{d} y=f^{\prime}(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x,\)倒是有必要使用复合函数求导法则。但是这并非是该定理所要证明的结论啊。这只是一个证明过程。

简而言之，如果采用如下方式证明该定理是否有错？ 由条件\(y=f(u)\) 在点 \(u(u=\varphi(x))\) 处可微以及微分的定义。可知：\(
\mathrm{d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u .
\)。证毕！




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以下是书中给出的证明过程！

定理:若 \(u=\varphi(x)\) 在点 \(x\) 处可微，\(y=f(u)\) 在点 \(u(u=\varphi(x))\) 处可微，则复合函数 \(y=f(\varphi(x))\) 在点 \(x\) 处可微，且
\[
\mathrm{d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u .
\]

证:由复合函数的求导法则知，\(y=f(\varphi(x))\) 在点 \(x\) 处可导，所以在点 \(x\)处可微．且
\[
\mathrm{d} y=f^{\prime}(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\varphi(x)) \mathrm{d} \varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u,
\]即 \(\mathrm{d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u\) ．

这里 \(u\) 是中间变量，它与当 \(x\) 是自变量时， \(\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)证明过程？