一条弯曲的直线｜罗氏几何初探

luyuanhong

一条弯曲的直线｜罗氏几何初探

原创 五期 杨林可 乐知学园 Lezhi Academy 2025 年 01 月 18 日 17:00 浙江

不管数学的任意分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。 ——罗巴切夫斯基

缘起

自从第一次开始学习几何，虽无特意说明，但一个个公理命题堆加，不知不觉间对几何已有一套固有的认识，于是认为一切本应如此。直到初次听闻罗巴切夫斯基几何，其虽最初遭受质疑，至今却已应用于科学，才知若换去本应理所应当的公理，竟会展开一处截然不同的几何世界。我便战战兢兢、斗胆尝试去管中窥豹。

从欧几里德到罗巴切夫斯基

在讨论罗氏几何之前，我想先谈谈欧氏几何。欧氏几何是我们一般中学学到的平面几何，因此我们对它较为熟悉。有一个非常熟悉的欧氏几何公理，即欧氏几何第五公理，也称平行线公理：过已知直线外一点，在这条直线和点的平面上只能作一条直线与已知直线平行。同时我们也知道：若两直线平行则一条平行线的垂线与另一条平行线交于直角。

但是这位生于十八世纪的俄国数学天才，罗巴切夫斯基提出了质疑：平行公理真的是公理吗？

为了证明它，罗巴切夫斯基使用了归谬法。即假设过已知直线外一点有两条及以上条平行线。这样的假设带来了新的结果。

同时他在他的著作《关于几何原本》里面还提到：“让我们把下面的假设当做正确的：和两条平行线中的一条垂直的直线，和其他一条相交于锐角。”

这个假设与我们学习的欧氏几何公理大相径庭。数学家将这个假设称为罗巴切夫斯基公理，于是我们可以看作：罗巴切夫斯基几何是从欧氏几何中延伸出来的一种拥有自己的公理体系的几何学。

在几何中，戴德金特提出公理：如果把定向直线的点分作两类，使第一类的任一点都在第二类之前，那么，这两类称为戴德金特的类。而如果把定向直线的点分成戴德金特的两类，则或是第一类有最后的点，或是第二类有最前面的点。这个的公理叫连续公理，利用这个公理就可以推出：在罗氏几何中过线外一点有两条平行线。

结合罗巴切夫斯基的假设，如左下平行线图，其中 AB⊥C'C 。有推理：

以 A 为端点向 BC 方向作射线，可以有两类线：

① 会与 BC 相交的线；

② 不会与 BC 相交的线。

因为两类都不是空的，于是它们符合戴德金特的类。

在 AB 右半边：① 作为第一类；② 作为第二类。

于是存在这样一条线 AP ，它是第一类的最后一条线或是第二类的第一条线。

然而第一种假设是不可能的，因为如果存在这条线 AP ，那么在 P 的右边，在 BC 的延长线上再取一个点 P1 ，A  和 P1 还可以继续连成一条与 BC 相交的线 AP1 。

于是可以知道 AP 是第二类线中的第一条线，即是与 BC 在 AB 右边不相交的第一条线，这条线被称为平行线。

同时可以推测在 AB 的左半边同样有一条线 AP' 是在左边第一条不与 BC' 相交的线，即过 C'C 线外一点 A 有两条平行线平行于 C'C 。

当然这么做便与欧氏几何发生了矛盾。

在左下图中，∠BAP 被称为平行角。



此时我们还可以证明在罗氏几何中平行角为锐角，并且不为直角。

根据罗巴切夫斯基公理有：任意一条平行线，它的平行角是锐角。

如右上图，∠BAP 为锐角，且 AP∥BC 。

此时在 AB 上取 A1B 小于 AB ，同时过 A1 作 A1P1 ，使 A1P1∥BC ，再作直线 A2P2 关于 A1P1 与 BC 对称，再作 A3P3 关于 A2P2 与 A1P1 对称，如此不断重复，我们可以取到一个极大的 AnB 。

这个时候如果 AnPn⊥AB ，那么可以知道：

∠AnAP 为 AnPn 的平行角，此时其他平行角为钝角，与罗巴切夫斯基公理相矛盾。

基于上可推导，平行角为直角这一假设在罗巴切夫斯基几何中是不可能的。

在罗巴切夫斯基几何中，既不与已知直线相交又不与已知直线平行的线叫作超平行线。（见上图“平行角为锐角”）

一条弯曲的直线

在分界直线与退化的多边形中看见弯曲的直线

罗巴切夫斯基几何从此延伸开来，不断出现不同于欧氏几何的命题。这里我们接触到一条“弯曲的直线”，数学界将其命名为分界直线。

分界直线是包含于一个角的内部，且不与这个角的两个边相交的直线。该直线会与两条边分别依照不同的方向平行。

我们可以这样证明它：

如左下图，已知 ∠AOB ，它的角平分线为 OC ，此时在 OC 上做垂线 PC ，同时使 PC∥OA ，此时延长 PC 至点 Q 。

因为 PC 关于 OC 与 CQ 对称，AO 关于 OC 与 BO 对称，所以 CQ∥BO 。

并且，每个角只有一条分界直线。

如果同一个角有两条分解直线即有 P'Q' 存在，那么它将同时平行于 AO、BO ，然而这在罗巴切夫斯基几何学中是不可能的。



罗巴切夫斯基几何学中还有一种特殊的多边形叫退化的多边形。退化即若干条直线或所有直线两两互相平行。

如果一个三角形的三条边两两平行，那么称它为退化的三角形；如果一个四边形的四条边两两平行，那么称他为退化的四边形。

这里我们所见到的图像与刚才分界直线的图像都是一种曲线图。在叙述为何如此做之前，我需要先提到另一个概念——角欠。

对于角欠的理解与认识

角欠并非独属于罗巴切夫斯基几何学中的，只是在欧氏几何中，角欠没有讨论的必要。因为在任意欧氏几何凸多边形中角欠都为零。

我了解到角欠的定义：凸多边形的所有外角之和减去 360° 的差数叫做多边形的角欠。

根据以往的知识有：在欧氏几何中任意正多边形的外角和为 360° ，所以欧氏几何中角欠的值为零。

根据上面提到的，平行线的平行角不可能为直角，因此在罗巴切夫斯基几何中，不存在矩形即四个内角都为 90° 的四边形，也不存在内角和为 180° 的三角形。

于是我们就可以推出：在罗巴切夫斯基几何中多边形的角欠不等于零。

这时有一个命题需要证明，以更好的了解角欠：若一个多边形被分为两个多边形，则这两个多边形的角欠相加的和等于被分的多边形的角欠的值。

可以这样来看，如左下图，一个多边形被分为两个多边形，可以知道这两个多边形的角欠分别为：




在证明完了角欠的定理 1 以后可以开始研究下一项问题——一种特殊的四边形——海亚姆–萨开里四边形。它是一个两底角为直角，两旁边相等的四边形。

最初意大利数学家萨开里利用这个四边形研究出了许多非欧几何学的定理，但萨开里认为在否定欧几里德公理的推论中发现了矛盾是证明了欧几里德公理的正确。

罗巴切夫斯基并不知道萨开里的著作，不过在他自己的著作中也经常提到这个特殊的四边形。

将这个四边形的 PQ 边称为底边，AB 为它的上底，AP 和 BQ 为它的两腰（如右上图）。

于是有：

∠APR=∠BQR=90° ；

∠PAC=∠QBC ，我们设其为 γ 。

这时可作 CR⊥PQ 且满足 AC 等于 BC ，PR 等于 QR 。

对于靠着上底的两角 γ ，数学家假设：

①  ∠γ 为直角；

②  ∠γ 为锐角；

③  ∠γ 为钝角。

数学中称这些假设为直角假设、锐角假设和钝角假设。

这里只假设 ∠γ 为钝角，

那么 AB＜PQ ，

这时可以使 PQ 与 AB 的差等于某一线段 MN 。

将已知的一个海亚姆–萨开里四边形不断沿它的右腰反射作出一系列的四边形 BB1Q1Q ，B1B2Q2Q1 ，... ， Bn-2Bn-1Qn-1Qn-2 。

由直线和折线的定理得：



即  2PA + n(PQ-MN) ＞ nPQ 。     

化简即 2AP ＞ nMN    ①

根据阿基米德原则：任意给定两个正实数 a 和 b ，必存在正整数 n ，使得 na>b 。当  n  为任意数时，① 不能成立，因此 ∠γ 为钝角存在矛盾。

海亚姆–萨开里四边形的角欠

Δ = 180° + 2(180° - γ) - 360° = 180° - 2γ = 2(90° - γ) 。

刚刚证明了 ∠γ 不为钝角，因此可以推测 Δ 不为负数；

因为在罗巴契夫斯基几何中三角形的内角和小于 180° ，而任何多边形可分为若干个三角形，即任意 n 边形在罗氏几何中的内角和小于 180(n-3)° 。

以三角形为例，设其内角分别为 α，β，γ ，则它的角欠

Δ = (180° - α) + (180° - β) + (180° - γ) - 360°  = 180° - (α + β + γ) 。

所以在罗氏几何中，角欠为正数。



在罗氏几何中没有相似？！

好了，其实证明关于角欠的命题是为了更好地了解另一个命题，即：

在罗氏几何空间中，不存在两个相似的图形。

可以这样假设：存在一个 ΔABC ，它的三个内角 ∠1、∠3、∠5 与另一个三角形 AB'C' 的内角 ∠1、∠2、∠4 相等，即可作图如右上。

在欧氏几何中，我们知道这两个三角形是相似的，然而在罗氏几何中，却说这两个三角形是全等的。这里的证明就要用到关于角欠的命题：

根据推出的多边形角欠命题有：

ΔABC 的角欠 Δ 等于 ΔAB'C' 的角欠 Δ1 与四边形 BCC'B' 的角欠 Δ2 之和，

但因为 ∠2=∠3 ，∠4=∠5 ，所以 Δ=Δ1 ，那么 Δ2 只能为 0 ，

可我们也证明过罗氏几何中角欠为正数，因此只有当 AB'=AB ，AC'=AC 时，

∠2=∠3 ，∠4=∠5 成立，也就是：

在罗巴切夫斯基几何学里，相似三角形不存在，因此相似多边形也不存在。

那么每个多边形都会有不同的角欠，而当你给一个多边形增加面积时，实际上也为这个多边形增加了角欠，于是可以推断，当一个多边形以某种关系增加角欠时，这个多边形的面积也会以一种关系增加，也就是说面积与角欠的增加成正比，即

存在一个正常数 c 使罗氏几何中的多边形面积 S 与 Δ 的关系为：

                 S=cΔ 。

直线变曲的秘密

此时可以回到最初那个问题：为什么在罗氏几何中，好像有一些弯曲的“直线”？在欧氏几何中，任何多边形的角欠为 0 ，而其实我所画的图都是借用了欧氏几何。

当我想画一张罗氏几何的图，根据以上推断过的面积与角欠的关系，会发现：当 Δ 无限趋近于 0 时，多边形的面积 S 会趋于无穷小。也就是说，在欧氏几何看来，罗氏几何是一个趋于无限大的图形。根据之前的推论，在罗氏几何中没有相似的图形，也就是说，我们无法将图形按比例缩小画到纸面上，但我们也没有那么大的纸，于是只能通过变形将它画到纸上。

余音回响

命题与命题之间虽有独立性，但它们又是环环相扣的。为了说明在罗氏几何中直线变曲的原因，需要证明五个命题——当然这在欧氏几何中是一样的。但是我最初学习欧氏几何时，许多定理、命题都是直接得知的，无需一步一步细细推敲。

因为罗氏几何是初次探究，各种定理命题于我而言皆显陌生，便使我更为直接地感受到一座几何大厦是如何搭建成的，好似看着这块不知为什么，旁边那块同样一片茫然，放在一起方知道，原来我见到的是一座恢宏的体系拔地而起！实际上我主要了解的命题是罗氏几何中最为基础的命题，就如同欧氏几何中的“对角线相等的平行四边形是矩形”一样，只是对几何更深探索的一个基础。

参考资料 ：

《罗巴切夫斯基几何初步》【俄】诺尔金  哈尔滨工业大学出版社        

注： 文中图片为本人电脑手绘，恐有误差，敬请谅解

乐知学园 Lezhi Academy