优选法中的 0.618

luyuanhong

优选法中的 0.618

来源  生活中的数学 数学经纬网 2025 年 02 月 02 日 19:00 安徽

黄金分割是古老而神秘的数学概念，从古至今广泛应用于建筑、艺术等领域，展现和谐之美。优选法则将黄金分割原理应用于实验设计与优化决策，助力解决实际问题。本文将带您领略黄金分割与优选法的数学智慧，感受其在现实世界中的广泛应用与独特魅力。

01  如何找到问题的最优解？

在我们的日常生活中，特别是在科学实验或者生产活动中，经常需要对一些数据进行“试验”从而得到最优的选择。例如日常生活中的炒菜放盐，在我们没有经验的时候经常会放多一些或者放少一些，这样就会导致菜的口味偏咸或者偏淡。再比如一个实验室正在试制一种新药，添加某种化学成分的剂量需要通过试验来确定。该成分添加过多或者过少都会影响药效，所以，科研人员需要在预先估算的一个区间内反复试验才能得到最佳的剂量方案，从而使药效达到最好。本节我们就来讨论一下如何进行试验能够高效地找到问题的最优解。

我们还以实验室试制新药为例。假设科研人员已经预先估算出添加某种化学成分的范围应控制在 50mg～400mg 之间，在这个区间范围内一定存在一个值，添加该剂量的化学成分能够使得该药品的疗效达到最好，但是需要科研人员通过试验才能确定这个值。你能给出一个又好又快的试验方法帮助科研人员找到答案吗？

02  试验方法分析

我们先通过一个坐标描述一下科研人员试验的具体内容，如图 1 所示。


图 1 添加化学成分与药效的函数关系

图 1 展示了添加某种化学成分剂量与药效之间的函数关系。在 这个区间内存在一个“药效最佳点”，但是这个点对应的化学成分的剂量x需要通过反复试验才能得到，因为药效和化学成分剂量之间没有明确的函数关系，至少科研人员并不知道这个具体的解析式。

要如何进行试验呢？最简单直观的方法就是将 [50,400] 这个区间进行等分，例如规定每个区间化学成分的剂量差为 5mg ，则可以划分为 [50,55] ，[55,60]  ，… ，[395,400]  这些区间。然后在每个区间中选择一个剂量值（例如区间的中间值）作为试验的样本。这样进行 70 次的试验就可以找到最佳的剂量值。这里需要明确一点，因为试验区间是连续的，而我们的试验是通过抽取样本的方式进行的，样本空间本身是离散的，因此采用试验的方法寻找最佳剂量值一定会存在误差。对于上述这种等区间划分试验的方法，这个误差会控制在 5mg 之内。当然，如果我们将区间的长度划分的越小，最终的结果就会越精准，但试验的次数也会随之增多。

这种方法理论上可行，但是无法实际操作，因为试验的次数越多，试验的成本就会越高。作为药品的试验，每试验一次可能就要消耗一只小白鼠，而且对于评估药效来说，一般不会马上得到试验结果，至少需要观察一段时间才能看出效果。单纯一种化学成分的剂量就要进行 70 次之多的试验，这显然既不合理又不现实。那么采用什么样的试验方法才能又快又准确地得到最佳剂量方案呢？在这里介绍一种经典的试验方法——黄金分割法。

03  黄金分割法

采用黄金分割法进行试验的步骤如下：

（1）在试验区间 [a,b] 内选择一个黄金分割点（0.618 点）x1  ，在 x1 上做一次试验 A ；

（2）在试验区间 [a,b] 内选择与黄金分割点（0.618  点）x1  关于区间中点对称的点 x2 ，再在 x2 上做一次试验 B ；

（3）比较两次的试验结果 A 和 B ，如果试验结果 A 优于 B ，则舍弃试验区间 [a,x2] ，构成新的试验区间 [x2,b] ；如果试验结果 B 优于 A ，则舍弃试验区间  [x1,b] ，构成新的试验区间  [a,x1] ；

（4）如果试验结果 A 等于 B ，则舍弃 [a,x2] 和 [x1,b] ，只保留 [x2,x1] 作为新的试验区间；

（5）重复 1～4 的步骤，直到试验区间足够小，即误差达到预期的范围。

我们结合这个题目看一下如何应用黄金分割法进行试验。首先在预先估算出的试验区间 [50,400] 中找到黄金分割点，即 0.618 点。由于区间的长度为 400-50=350 ，而 350×0.618=216.3 ，所以这个点就应当位于坐标中 50+216.3=266.3 上，即化学成分的剂量为 266.3mg 。在坐标中标出这个点，如图 2 所示。


图 2 在试验区间 [50,400] 内找到黄金分割点

然后在 266.3 点上进行一次试验，也就是使用 266.3mg 的剂量进行新药的药效试验，试验结果记为 A 。接下来在试验区间  内找出与黄金分割点 266.3 关于区间中点 225 对称的点。这个点其实就是 1-0.618=0.382 点。因为试验区间的总长度为 350 ，而 350×0.382=133.7 ，所以这个点就应当位于坐标中 50+133.7=183.7 上，即化学成分的剂量为 183.7mg 。如图 3 所示。


图 3 在试验区间 [50,400] 内找到黄金分割点的对称点

然后在 183.7 点上进行一次试验，试验结果记为 B 。从坐标图上很容易看出药效 B 优于药效 A ，所以，大于 266.3mg 的剂量是不可能存在药效更好的试验点，因此我们舍弃掉试验区间 [266.3,400] ，在 [50,266.3] 中继续进行试验。接下来的试验还是重复上述的步骤，不断地选点，比较药效，舍弃试验区间，直到试验区间足够小并达到预先要求的精度为止。这里有一点需要说明，在第 n 次的试验中，第 n-1 次保留下来的试验点同样是可以作为第 n 次的试验点使用，只需要找到其关于新区间的中点对称的那个点进行一次试验即可。原因如下：


图 4 用线段表示试验区间

如图 4 所示，设试验区间为线段 AB ，C 为黄金分割点，也就是第一次试验点，O 为试验区间的中点，D 是 C 关于 O 的对称点。设 AD=CB=a ，DO=OC=b  。根据黄金分割比例的定义，有如下关系：



因此 D 是线段 AC 的黄金分割点。

也就是说，如果第一组比较试验后舍弃的区间为 CB ，那么 D 就变为区间 AC 的黄金分割点，所以，我们只要找出 D 关于新区间 AC 中点的对称点并进行下一次试验，再将其试验结果与 D 点上的试验结果（第一次试验已得出）进行比较即可，这样便可以节省一次试验。同理，如果第一次试验后舍弃区间为 AD ，那么试验点 C 及其试验结果仍可保留，找到其关于 DB 中点的对称点进行试验比较即可。

黄金分割法之所以快速高效，在于应用这种方法每进行一组比较试验，其试验区间的长度就减小为原始区间长度的约 0.618 倍。如果最初的试验区间长度为  L ，那么进行第 n 组比较试验时，其试验区间的长度至多为  0.618^(n-1)×L ，可见试验区间缩小的速度是非常快的，这样便会很快达到试验预期的精度，而且除了第一次比较需要进行两次试验以外，剩余的比较都只需要进行一次试验，从而达到减少试验次数的目的。

04  黄金分割法的几点注意事项

使用黄金分割法进行试验时有几点需要注意：

（1）黄金分割法是一种单因素最优化方法，它解决的问题是针对函数在区间上有单峰极大值（或者极小值）的情况。例如本题中的“化学成分剂量与药效的关系”，我们预先的假设是在 50mg～400mg 的区间范围内只存在一个药效最好的点，其他情况下药效随着化学成分剂量的增加而增加或者减小（其关系形如图 1 所示）。虽然很多情况下我们并不能精准地知道其函数关系，但是要使用黄金分割法进行试验，就必须确保在给定的试验区间中只存在单峰极值（即一个最优值），类似图 5 这样的函数关系就不能使用黄金分割法进行试验。


图 5 不能使用黄金分割法进行试验的函数关系

也正是由于函数在试验区间内存在单峰极值的特性，我们才能在每组比较试验后直接舍弃一部分区间。

（2）黄金分割法所解决的往往是实际工作中无法准确描述出目标函数的问题，也就是无法准确描述出自变量 x 和因变量 f(x) 之间的关系问题。所以，黄金分割法是采用抽取样本进行试验的数值方法。使用黄金分割法进行试验必然存在误差，这个误差的大小就是最终剩余的试验区间的长度。

05  黄金分割与华罗庚的“优选法”

黄金分割是指将一个物体整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，这个分割点就称为黄金分割点。


图 6 黄金分割点

如图 6 所示，有线段 AB ，C 是其黄金分割点，那么依照黄金分割的定义，则有以下关系：



由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，所以人们称之为“黄金分割”，而 0.618 被公认为最具有审美意义的比例数字。

黄金分割不仅应用于艺术设计领域，在数学中也有广泛的应用。上面介绍的黄金分割法就是这样一个例子。它利用黄金分割比例，快速减小试验区间的长度，从而缩小了问题的规模，高效地找到问题的最优解。黄金分割法属于优选法的范畴，是一种以数学原理为指导，合理安排试验的科学方法。优选法最早由美国数学家 J. 基弗提出，但是在中国提到优选法就不能不提到一位伟大而著名的数学家华罗庚先生。早在上世纪六七十年代，华罗庚先生便开始尝试寻找一条数学和工农业实践相结合的道路。经过一番探索和实践，他发现数学中的统筹法和优选法是在工农业生产中能够普遍应用和推广的方法，它可以提高工作效率，节约生产成本，改进管理方法。于是华罗庚先生亲自带领中国科技大学的一些师生到全国各地的工厂企业普及和推广统筹法和优选法（简称“双法”），并写成了《统筹方法平话及补充》《优选法平话及其补充》两本小册子，以极其通俗易懂的方式向广大工人农民讲解统筹法和优选法的应用。华罗庚先生的身体力行使得统筹法和优选法在我国迅速得到普及和发展，并给当时的工农业生产带来了巨大的经济效益。

本文源自《生活中的数学》第一章，经数学经纬网整理发布。

生活中的数学 数学经纬网