已知内心到三角形三个顶点的距离分别为x,y,z，求三角形周长表达式

Ysu2008

已知内心到三角形三个顶点的距离分别为x,y,z，求三角形周长表达式.

天山草

此问题是否等价于：已知内心到三角形三个顶点的距离分别为 x， y， z，能不能确定该三角形的内切圆半径？

天山草

下图就是这个符合上面数据的“三角形”例子，图中除三角形各顶点到内心的距离是准确值外，各切线长和内切圆半径都是大约数值，因为它们不可能有准确解。也就是说这个三角形不存在。




结论就是：已知内心到三角形三个顶点的距离分别为 x，y，z， 无法用  x，y，z 的表达式来确定三角形的周长。

波斯猫猫

已知内心到三角形三顶点的距离分别为a，b，c，设内切圆半径为r，
显然，其周长的表达式为
f(r)=2[√(a^2-r^2)+√(b^2-r^2)+√(c^2-r^2)].

Ysu2008

天山草 发表于 2025-2-14 10:28
下图就是这个符合上面数据的“三角形”例子，图中除三角形各顶点到内心的距离是准确值外，各切线长和 ...

你图都画出来了，还说三角形不存在？

ataorj

再用下正弦定理应该可以了

Ysu2008

ataorj 发表于 2025-2-14 16:47
再用下正弦定理应该可以了

那你用啊，光说不练？

Ysu2008

明着说，这个问题学霸都没解决，谁解决了谁就超过学霸了。

天山草

1. Clear["Global`*"];
   
2. x = 115/100; y = 242/100; z = 179/100;
   
3. W = NSolve[{2 r^3 x y z + r^2 (x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2) -
   
4.        x^2 y^2 z^2 == 0, r > 0}, {r}, 100] // Flatten;
   
5. r = r /. W; Print["r = ", r];
   
6. tx = Sqrt[x^2 - r^2]; Print["tx = ", N[tx, 100]];
   
7. ty = Sqrt[y^2 - r^2]; Print["ty = ", N[ty, 100]];
   
8. tz = Sqrt[z^2 - r^2]; Print["tz = ", N[tz, 100]];
   
9. L = 2 (tx + ty + tz); Print["L = ", N[L, 100]];

复制代码

上面这个是用 mathematica 计算内切圆半径的程序。算出圆半径以后别的就好算了。
内切圆半径 r = 0.8005388192691153322169278163957643666132854363277856003737140361790085294640445720062274138021046686;
各切线长分别是:
  tx = 0.8256134681818185422570255744458584180469278984035455354486184781511147887366972241055345433917570298;
  ty = 2.283755152997626122372696231586643096372075327304196678393596164704167339678892241020086740322335223;
  tz = 1.601011429953955918500217324692424544019062607152427795303837822022504747820896625557954494676686053。
三角形周长是:
  L = 9.420760102266801166259878261449852116876131665720340018292104929755573752472972181367151556781556612。
圆半径 r 与内心到三个顶点的距离 x、y、z 满足一个三次方程 2 r^3 x y z + r^2 (x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2) - x^2 y^2 z^2 = 0，
此方程是【悠闲数学娱乐论坛】的 hejoseph 给出的，但是他没有给出推导过程。

天山草

这个网站打开经常还是慢啊，如果是我的电脑问题，为啥别的数学网站打开都快？不知你们各位有没有打开慢的问题？