“无冕之王”希尔伯特：引领哥廷根学派，启迪 20 世纪数学发展

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“无冕之王”希尔伯特：引领哥廷根学派，启迪 20 世纪数学发展

原创 关注全球科研的 科学方程式 2025 年 02 月 14 日 11:59 北京

1900 年 8 月 8 日，清晨的阳光洒进巴黎索邦大学的报告厅，38 岁的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）在第二届国际数学家大会上发表了一场改变数学史的演讲。他从众多难题中选出 23 个未解的数学问题，这些问题涉及代数、数论、几何、拓扑等多个数学领域，犹如灯塔，指引未来百年数学研究的航向。

菲尔兹奖得主陶哲轩曾评价说：“希尔伯特 23 个问题的伟大之处，在于它本质上构建了现代数学研究的坐标系。”

当然，希尔伯特贡献远不止于此。他撰写的《几何学基础》，以 21 条公理重构欧几里得逻辑框架，由此掀起数学各个分支的“公理化研究”浪潮，奠定了他在数学界无可取代的地位。他在哥廷根大学执教 35 年间打造了全世界仰慕的“数学圣地”，更以创新包容的学术理念培养了赫尔曼·外尔、冯·诺伊曼、理查德·库朗等上百位数学巨匠。他的思想跨越时代，被誉为“数学界的无冕之王”。

在希尔伯特逝世 82 周年之际，我们来探寻他如何塑造了现代数学的宏伟版图。

NO.01  数学天才，从柯尼斯堡开始起步

普鲁士曾经的首府柯尼斯堡，这座因“欧拉七桥问题”而载入史册的古城，到了 20 世纪又在数学界重振声威，因为 1862 年 1 月 23 日这天诞生了一位数学天才，他就是大卫·希尔伯特。

童年时的希尔伯特与同龄人相比显得有些迟钝，八岁才进入他的第一所学校——皇家腓特烈中学的初级部，两年后升入本部。1879 年，他转入威廉中学就读，老师们鼓励学生独立思考，希尔伯特所有学科上的表现都有所提高，数学天赋也获得充分释放，成绩突飞猛进。这时，希尔伯特结识了比他小 2 岁却已名震欧洲的数学天才闵可夫斯基（Hermann Minkowski）。

在闵可夫斯基鼓励下，希尔伯特于 1880 年秋季考入了 1544 年建校的柯尼斯堡大学。在这里，他快速学习积分微积分、行列式理论、曲面曲率、数论等课程。1884 年 12 月，希尔伯特在导师韦伯（Heinrich Weber）和林德曼（Lindemann ，德国数学家，证明了 π 为超越数）的指导下完成《关于特殊二元形式的不变性质，特别是球函数的性质》论文。一次偶然机会，德国数学家费利克斯·克莱因（Felix Klein）听取了希尔伯特《代数不变量理论》论文，预言他日后必成大器。

1885年，希尔伯特获得博士学位，不久后通过国家考试获得柯尼斯堡大学讲师资格，从此开始他在数学王国的进取之路。



那段时间，在柯尼斯堡大学的后山上，有一道独特风景：希尔伯特和闵可夫斯基、阿道夫·赫维茨（Adolf Hurwitz）等数学家经常一起散步，一起头脑风暴，讨论各自对数学问题的理解和研究计划。

NO.02  科学巨匠，覆盖数论和几何公理化研究

在柯尼斯堡大学任教期间，希尔伯特继续深入研究不变量理论，并于 1888 年证明了“不变量之王” 保罗·戈尔丹（Paul Gordan）提出的有限基问题（Finiteness Theorem）。

此前，德国数学家戈尔丹通过复杂的计算证明二元系统的有限性定理，然而当变量超过两个时，由于复杂性激增而失败。希尔伯特意识到，解决这一难题得引入全新方法。经过长时间思考，希尔伯特提出有限性定理，证明采用了高度抽象的方法，所以当他将论文提交至《数学年刊》时，作为权威专家以及审稿人的戈尔丹拒绝发表，他直言：“这不是数学。这是神学或障眼法”。同时引发了一场数学史论战，因为只证明存在性在数学界是家常便饭。

希尔伯特并未气馁，转而给克莱因写信详细阐述了他的论证思路，获得克莱因的认可，他鼓励希尔伯特将这一方法扩展到更普遍的方式，并再次提交。1888 年，希尔伯特构建出了“戈尔丹问题”的解，希尔伯特有限性定理也得以发表。

希尔伯特通过构造“基”（basis）来证明不变量环的有限生成性。他展示了存在有限个多项式生成元，而不是直接给出每个生成元的具体表达式。这是一种非常抽象的存在性证明。



另外，希尔伯特通过扩展戈尔丹的计算方法，证明了对于任意多个变量的代数系统，不变量环是有限生成的。



1893 年，希尔伯特升任柯尼斯堡大学教授，他的研究重心转向代数数论。一年后，希尔伯特就给出了 π 和 e 超越性全新而又简洁的证明，以及素数理想分离法、华林猜想的证明等，再次震惊数学界。

1895 年，在哥廷根学派的第四位掌门人克莱因的举荐下，希尔伯特获得了哥廷根大学数学教授的职位。

也正是在这一年，希尔伯特进军几何学领域，开始思考严谨的公理化问题，他对欧几里得的《几何原本》重新分析，并提出 21 个独立性、完备性、一致性的基本公理。


在希尔伯特的公理法中，几何学不研究点、线、面的直观形象，而是关注它们的关系，这些关系由公理定义。我们可以用桌子、椅子、啤酒杯等任意事物来代表点、线、面，只要它们符合公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，就能构成几何学。几何学的本质是对空间进行逻辑分析，而非依赖直觉，我们平常熟悉的几何图形只是帮助理解的工具，并非必需。

1899 年，《几何学基础》（Grundlagen der Geometrie）正式出版，这种全新的思考方式立即吸引了庞加莱（Henri Poincaré）等一众数学大师，成为几何学的权威教材，并由此掀起数学各个分支的“公理化运动”，这本广为流传的经典著作奠定了希尔伯特在数学界无可取代的地位。

NO.03  学术先驱，23 个数学问题点亮百年征途

1899 年，第二届国际数学会议的筹备机构邀请希尔伯特作主要发言。他接受了邀请，并构思了两个想法：做一个为纯粹数学辩护的演讲，或者探讨新世纪数学发展的方向。为此，他致信闵可夫斯基商议。闵可夫斯基回信道：最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题。

希尔伯特决定采纳好友的建议，提出一些急需解决的数学难题。他曾发现历史上许多关键问题的提出会催生新的数学分支。例如，伯努利（Bernoulli）最速降落线问题促成了变分法的诞生；费马（Fermat）问题推动了代数数论的发展，数论中的核心概念“理想数”是为了解决费马问题而提出；三体问题则对现代天体力学起了关键性的作用。这些问题有的源自数学本身，有的则起源于基本自然现象。

从 1899 年开始，希尔伯特花了 8 个月时间筛选出 23 个问题。他的好友闵可夫斯基、赫维茨参与了校对与修订。

“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕？下一代的主要数学思潮将追求什么样的目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”

“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会代之而起。下面请允许我提出一些源自数学各个分支的问题，希望以此推动科学的进步。”

1900 年，希尔伯特富有启发和深刻洞察的思想一下子就抓住了现场学者的心。他提出科学在每个时代都有自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。事实证明，这 23 个问题的确成为 20 世纪数学发展的一张航图。



希尔伯特的演讲获得了极大的成功。各国的数学杂志纷纷转载他的演讲稿，大批数学家投入解决希尔伯特问题的激流中去。

此后，希尔伯特在学界声名显赫，其他科学院都想挖他离开哥廷根。例如柏林大学向希尔伯特提供了富克斯的教席。希尔伯特拒绝了，反而把他的挚友闵可夫斯基从柯尼斯堡大学邀请到哥廷根任职。

NO.04  一代宗师，打造哥廷根学派的黄金时代

19 世纪末到 20 世纪，全世界几乎所有数学专业的学生，都心怀一个梦想“打起背包，到哥廷根去！”为什么哥廷根如此有什么吸引力？因为，那里有克莱因和希尔伯特等著名数学家。

可以说，希尔伯特是注入哥廷根学派的新鲜血液与活力因子，他开设的数学课程充满精彩观点，吸引了包括维纳、冯·诺依曼、玻尔、玻恩等全世界知名学者前来聆听。他的授课内容涵盖不变量理论、变分法、交换代数、几何基础、算子谱理论、数学物理等，教学大厅座无虚席，甚至有学者挤在窗台上。

在希尔伯特指导下，来自世界各地的青年才俊在哥廷根崭露头角，如布鲁门萨尔（Otto Blumenthal）、外尔（Hermann Weyl）、柯朗（Richard Courant）和斯坦豪斯（Hugo Steinhaus）等人先后在他门下获得博士学位。希尔伯特一生培养了数百名博士生，其中许多人成为了著名数学家。计算机之父冯·诺伊曼就曾在希尔伯特办公室任职助理。

1916 年，一位年轻女学者埃米·诺特（Emmy Noether）进入哥廷根大学。因为她学识渊博，希尔伯特力排众议聘请她为讲师。诺特也没有让人失望，她将守恒定律与对称性联系起来发表著名的诺特定理，对现代物理学起到了至关重要的作用。后世，人们甚至将诺特称为历史上最伟大的女数学家。

教学之外，希尔伯特探索的领域更加广阔，他的工作包括数论（用存在性论证解决了古老的华林问题）、积分方程（泛函分析中希尔伯特空间的来源）、数学基础（他是三大学派之一形式主义学派的领头羊）。


图片来源：网络

20 世纪初，曾师从闵可夫斯基的爱因斯坦一直从事相对论研究。1915 年，希尔伯特发现黎曼几何在广义相对论中的关键作用，遂致信爱因斯坦，提出从数学角度看，麦克斯韦方程组或为引力场方程的延伸，引力与电磁力可能是同一力的不同表现。同年 11 月 20 日，他向科学院提交《物理学的基础》，包含广义相对论的场方程。五天后，爱因斯坦提交《引力的场方程》，推导出相同结果。得知此事，爱因斯坦对这位“师叔”更加敬佩。

在希尔伯特的带领下，哥廷根大学成为了全世界仰慕的数学圣地，全球公认的数学中心。1920 年代，三分之一的美国数学教授拥有哥廷根学术背景。而希尔伯特在哥廷根正式工作到法定退休年龄的六十八岁，历时三十五年。

NO.05  巨星离世，留下永恒的科学遗产

1943 年 2 月 14 日，81 岁的希尔伯特在战火与孤寂中离世，伟大的灵魂停止了思考。

希尔伯特因其杰出的数学成就被公认为是庞加莱之后的数学全才、数学界的无冕之王。如今，镌刻着“Wir müssen wissen, wir werden wissen”（我们必须知道，我们终将知道）的墓志铭仍在提醒世人：真正的数学精神永远超越政治与国界。他开创的公理化方法已成为现代数学研究的标准语言，影响了数论、代数几何、拓扑学、量子力学等多个领域；而他培养的学术血脉，正通过库朗研究所、普林斯顿高等研究院等知识共同体，持续塑造着 21 世纪的科学图景。



参考资料：

https://matematix.org/david-hilbert/

https://www.storyofmathematics.com/20th_hilbert.html/

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