数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 473|回复: 0

惧怕计算的数学大师——庞加莱

[复制链接]
发表于 2025-2-18 00:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
惧怕计算的数学大师——庞加莱

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2025 年 02 月 13 日 11:42 浙江

他是继高斯之后,对于数学及其应用(理论物理、电磁理论、动力学、流体力学和天文学等)具有全面知识的最后一人,他就是二十世纪初的领袖数学家亨利·庞加莱(Henri Poincaré)。但与高斯截然不同的是,庞加莱并不擅长计算,甚至一度为计算而犯怵。

他究竟是如何做到避免繁杂的计算,却又能在各个数学分支做出重要贡献的?



1854 年,庞加莱出生于法国南锡一个显赫的家族,他的堂弟雷蒙·庞加莱在一战期间担任法国总统。他的父亲是医学教授,但对小庞加莱糟糕的身体状况却无能为力。庞加莱从小视力很差,且身体不协调,常常显得精神恍惚。他因看不清老师的板书,无法记笔记,这也许是他不擅长计算的原因之一。然而他却具备了极强的思维能力和惊人的记忆力,上课时他只要听过,就能记住。

他从小受母亲启蒙,8 岁就进入南锡中学,因数学天赋被老师称为“数学怪兽”。

1873 年,19 岁的庞加莱以第一名考入当时数学最好的学校——巴黎综合理工学院,师从埃尔米特。

六年后(1879 年),他发表了与微分方程相关的博士论文《关于偏微分方程所定义的函数的性质》(On the Properties of Functions Defined by Partial Differential Equation),然而他的研究并不是去解具体的微分方程,而是定性地找寻微分方程有解的条件。曾经代数方程的发展历程给了他很大的启示,解决五次方程求解问题的伽罗瓦,并没有去找具体的代数方程解法,而是发展出了更抽象的群论,找到了代数方程有根式解的条件。

庞加莱关于微分方程是否有解,也给出了定性的理论。他提出了自守函数,并结合这类函数投影曲面的拓扑不变量(贝蒂数)进行研究,发现当它们满足一定条件时,某类线性微分方程可以借助自守函数来求解。



1887 年,庞加莱赢得了瑞典国王赞助的一场数学竞赛,一时间被当做了民族英雄。他的得奖论文说明了三体问题无解析解,这是一个基于物理学的微分方程问题。三体问题会产生由 18 个一阶微分方程构成的方程组,庞加莱发现物理学上的守恒量只能降低 12 个自由度,不足以将这个微分方程组化简为常函数,因此没有解析解。

一年后(1888 年),庞加莱在修改这篇论文的过程中,发现三体问题更深层次的本质——非线性,他的这一发现被认为是混沌理论的开端。



庞加莱曾说过,他思考过的每一个问题都将他导向《位置分析学》(Analysis Situs)。



《位置分析学》是庞加莱在 1895 年发表的一篇重要论文,在接下来的十年里,他关于这个主题又发表了五篇续作,标志着组合拓扑学的诞生。

拓扑学又被称为“橡皮几何学”,研究在连续变化下保持不变的几何性质,关于拓扑的研究往往是定性而非定量的,而这正是庞加莱所擅长的。



比如欧拉示性数(一个几何体的顶点数-棱数+面数的值,V-E+F=2)是重要的拓扑不变量,而庞加莱将其推广到了高维,提出了贝蒂数。



1900 年,庞加莱基于贝蒂的工作发展出了同调论(Homology Theory),这也成为拓扑学中分析流形的基本方法,用它可以判定一个三维流形是否同胚于三维球面。



这就是 1904 年庞加莱提出的著名猜想——庞加莱猜想:任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。

可以毫不夸张地说,二十世纪三十年代初之前的拓扑学研究几乎全部来自庞加莱的工作。

庞加莱在物理学上也有重要贡献。1905 年 6 月 5 日,庞加莱发表了他第一篇关于相对论的论文《论电子动力学》,结合他一个月后的论文,他不但在数学上完善了洛伦兹变换,而且在事实上已经推出了狭义相对论,这甚至比爱因斯坦的论文还早 25 天(爱因斯坦于 1905 年 6 月 30 日发表《论动体的电动力学》)。

由于庞加莱太过专注数学上的推导,用了李群等一些当时物理学家闻所未闻的数学工具,在形式上不好理解。再加上他谦虚的个性,将物理学上的启示都归功于洛伦兹,而洛伦兹本人并不认同相对论,这令庞加莱与相对论失之交臂。

直到 16 年后(1921 年)爱因斯坦在公开演讲中才承认了庞加莱在相对论中的贡献。


1911 年第一届索尔维会议上可见庞加莱的学术地位

庞加莱对数学有着非凡的直觉与强大的想象力,他甚至不在意严格性与逻辑性,他认为这些都是对创造力的制约。也许这就是他不喜欢机械化定量计算,而热衷于开创性定性探索的原因。

庞加莱在数学上的工作,可以归结为:拓扑学观点下的数学。也就是在流变的表象之下寻找不变量。

庞加莱虽然视力有障碍,但却能见到常人所不能见的本质。

当时数学主要的分支为:分析、代数与几何,而他用拓扑将三大分支联系在了一起,难怪他能成为史上最后一位数学全才。



他曾放出豪言:“科学家研究大自然并不是因为有用,他的研究出于喜爱,他的喜爱则出于美。假若大自然不是美的,则它不值一探;而假若大自然不值一探,则人生也不值一过。”



参考:通往狭义相对论之路——对 Henri Poincaré 迟到的致敬,https://dx.doi.org/10.12351/ks.2010.0199

蔡爸谈数学

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-5-10 06:42 , Processed in 0.097199 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表