就√2不是有理数的证明与DeepSeek的最后一次对话

yangls728

就√2不是有理数的证明与DeepSeek的最后一次对话
杨六省
yangls728@163.com
最近，笔者就√2不是有理数的证明问题与DeepSeek进行过多次对话。不断地采纳DeepSeek的批评和建议对证明进行修改。下面是最后一次对话的内容：
下面的证明正确吗？
命题：如果x2=2，那么x不能表成两个整数之比 。
证明：假设存在整数p和q使得（ p/q）2=2，下面推矛盾。
不妨先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）：
p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。
p也不能是偶数，理由是：设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无限多个因数2，与算术基本定理（每个大于1的正整数均可分解成有限个素数之积）矛盾。
所以，p不是整数。
综上，对于（ p/q）2=2，如果q是整数，则p不是整数，这就是说，如果x2=2，那么x不能表成两个整数之比 。
DeepSeek的评语：“总结来说，这个证明是正确的，虽然可能和常见的版本在表述上有所不同，但逻辑上是严密的，没有问题。”