数字究竟从何而来？

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数字究竟从何而来？

来源  数学史与数学文化 2025 年 02 月 20 日 21:34 广东

       数字究竟是什么？它们从何而来？为什么会有那么多不同类型的数字呢？人类最早使用的数字是为了记数，比如清点猎物的数量、记录部落的人口。最初人们用手指、石子、树上的刻痕等来表示数量，逐渐地，他们抽象出了 1、2、3 这些符号，这就是自然数。在 1 上面加 1 ，再加 1 ，不断地加 1 ，可以达到任何一个自然数。为了更方便地记录和计算，古人发明了位值记数法，就像我们现在使用的十进制。数字的位值决定了它的大小，比如 333 ，第一个 3 表示三百，第二个 3 表示三十，最后一个 3 就表示三个。而要实现位值记数，一个至关重要的数字就诞生了，它就是 0 。

       在商业活动中，负数出现了。负数的出现使小数能够减去大数，减法也能通行无阻了。正整数、负整数和 0 在一起组成的数系叫做整数环。在整数环里，加、减、乘三种运算通行无阻，这叫做整数环对加法、减法和乘法的封闭性。

      但是如果要把一个蛋糕平均分给 3 个人，或者测量一段不足 1 米的长度，整数就捉襟见肘了。这时分数和小数就派上了用场，有了分数，除法也就通行无阻了。正负整数、正负分数和0在一起成为有理数。在有理数系里，加减乘除通行无阻。在数学里，把允许加减乘除通行无阻，还要符合五条运算律（加法交换律 a+b=b+a 、加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 、乘法交换律 а×b=b×a 、乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 、乘法对加法的分配律 a×(b+c)=a×b+a×c ）的系统叫做域，所以有理数系也叫做有理数域。

      在有理数域里没有根号二，也就是说方程 x 平方减二等于零没有根。方程没根不要紧，可是正方形总不能没有对角线吧，而根号二正是边长为 1 的正方形的对角线的长度。为了几何的需要，有理数域必须扩大。在几何直观的启发下，人们建立了实数系，这样每条线段与单位线段的比都可以用数表示了，这个数也许是有理数也许是无理数。有理数与无理数合成实数，实数系也能使四则运算通行无阻。不但如此，实数系里还能够进行取极限的运算，这是它比有理数系优越之处，这个特点叫做实数系的完备性。

       在实数系里，许多代数方程没有根，如方程 x 平方加一等于零就没有实根。数学家们发现在解另外一些有实根的代数方程，以及进行别的运算时，不可避免地要碰到负数的平方根根号负一。大家对根号负一想不通，又不得不跟它打交道，便给它起了一个名字 i ，i 等于根号负一，i 的意思是虚幻。后来从几何上解释了虚数，实数系理直气壮地扩充成了复数系。实数系是一条直线，复数系是一张平面。这种几何解释使复数系在数学中牢牢地站稳了脚跟。在复数系里，四则运算通行无阻，极限运算也通行无阻，因而它又是完备的。在复数系里，代数方程总有根，所以它又叫做代数封闭域。

       总的来说，几种数系的关系是：一、全体正整数加法与乘法通行无阻；二、加法的逆运算是减法，为了减法通行无阻，要添上负数和零，形成了整数环；三、整数环里除法不能通行无阻，为了解决这个问题，添上分数，得到了有理数域；四、有理数域的极限运算不能通行无阻，为了解决这个问题，把有理数域扩充为实数系；五、在实数系里解代数方程不一定行得通，把它再扩充为复数系，成了代数封闭域，所有的代数方程都有根了。数系还可以再扩充，但是再扩充时某些原来的法则就不成立了，例如复数系还可以扩充成四元数系，这时乘法交换律就不再成立了。

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