数学界难得一见的帅才

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数学界难得一见的帅才

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2025 年 02 月 24 日 14:39 浙江

19 世纪中叶，世界数学中心由法国转移到了德国，除了耀眼的巨星高斯与黎曼的贡献外，还与一位数学领袖关系密切，他就是德国数学承前启后的关键人物——费利克斯·克莱因（Felix Klein）。



克莱因从小被称为神童，8 岁直接进入中学，接受了 8 年纯文科教育。16 岁时考入波恩大学。他一开始对数学并没有兴趣，大二时（1866 年）因为机缘巧合，给普吕克当起了物理助手。


左：普吕克，右：克莱因

普吕克是一位跨界高手，曾经发现阴极射线并引发电子革命，但此时他开始回归数学研究。在老师的引导下，毫无基础的克莱因竟然对数学产生了浓厚的兴趣，特别是射影几何。师徒俩经常讨论，并一同著书。不料两年后，老师突然去世。克莱因整理老师未完成的遗作《新空间几何学》，将其完成并发表。

1869 年，年仅 20 岁的克莱因，直接拿到了博士学位，开启了自己的游学生涯。他先来到德国柏林，结果自己在数学上的大胆想法遭到魏尔斯特拉斯的批判。

不服气的克莱因转身去了法国巴黎，在那里他的思想很受重视，而且他还遇到了一生的挚友，李群的提出者索菲斯·李。在李的启发下，克莱因产生了将几何代数化的宏大构想。结果 1870 年普法战争爆发，两人各奔东西，克莱因回到德国。

虽然他的设想在相对保守的德国遭到了抵制，然而他的师兄却一直支持他，并推荐他到埃尔朗根大学任教。后来克莱因在那里，娶了黑格尔的孙女为妻。

两年后，1872 年，克莱因提出了著名的埃尔朗根纲领，他号召数学家行动起来，“群化”几何学，如此一来几何学的工作就成为：研究在特定变换群下，图形保持不变的性质。如今我们看到的被代数化的非欧几何，就是这场几何学改革的结果。



在克莱因眼里：欧几里得几何只是仿射几何的一个特例，而仿射几何又是射影几何的一个特例。



虽然克莱因主要研究代数几何，但他在拓扑学上也有所贡献，比如 1882 年他发明了内外一体的克莱因瓶，这个神奇的瓶子甚至比他本人更出名。


内表面与外表面连成一体的克莱因瓶

四年后（1886 年），他来到哥廷根大学任教，并将重心转到了教育上。他延续了高斯和黎曼时期哥廷根学派的辉煌。虽然巴黎有庞加莱，但克莱因捍卫住了哥廷根作为世界数学中心的地位。

他不拘一格启用年轻人才，为哥廷根注入活力。在他的奔走下，希尔伯特、闵可夫斯基、诺特、外尔等大数学家纷纷来到哥廷根任教，在大师的感召下，越来越多的人才向哥廷根聚集，这所大学也迎来了它的全盛时期。



克莱因还坚持纯粹数学与应用数学并重发展，重用被边缘化的空气动力学家冯·卡门，也就是钱学森的导师。


钱学森的导师冯·卡门也因克莱因而受到重用

克莱因认为中学教师应该多接触高等数学，以保证培养的学生在知识面上不会出现断层。他还为此写下著作《高观点下的初等数学》（Elementary Mathematics from a Higher Standpoint），并掀起了一场近代教育改革运动。

克莱因去世后，哥廷根大学在数学和科学领域的强盛一直延续到 1933 年，因为那一年希特勒成了德国总理。

克莱因是让德国成为世界数学中心的关键人物，无论在数学研究还是教育改革中，他都具备宽阔的视野与独到的见解，不愧为数学界难得一见的帅才。

附上克莱因的名言：

Thus, in a sense, mathematics has been most advanced by those who distinguished thernselves by intuition ratber than by rigorous proofs.

从某种意义上说，数学是由那些凭直觉，而不是靠严格证明的人来推动的。

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《高观点下的初等数学》| 华东师范大学出版社

《高观点下的初等数学》是克莱因本人在哥廷根大学所撰写的基础数学普及读物，为确保德国的初等数学教育与高等数学之间能无缝衔接。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共 3 卷，第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。该书豆瓣评分 9.1 ，成为数学教育的不朽经典，值得数学教师与数学爱好者研读。


《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪》| 图灵新知

《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪》是美国数学学会推荐必读书之一，是梳理代数基本知识的“数学入门书”。记载了丢番图、卡尔达诺、笛卡儿、牛顿、欧拉、拉格朗日、伽罗瓦、黎曼、凯莱、克莱因、李……一代代伟大数学家的命运和功绩。通过“未知量、算术、抽象”三大主题，展现人类思维如何实现从认知实例到抽象思考的伟大飞跃，并在集体意识中播下了“代数”的种子。该书豆瓣评分 8.8 ，哪怕是一个不懂代数学的人，也可以流畅阅读，体会精彩故事背后的数学思想流变。适合中学生、大学生以及对数学感兴趣的终生学习者。

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