一个简单的理由足以说明√2不是有理数的传统证明方法是无效的

yangls728

一个简单的理由足以说明√2不是有理数的传统证明方法是无效的
杨六省
yangls728@163.com
2000多年来，无论是欧几里得的《几何原本》，还是现今的中学数学教科书，在证明√2不是有理数的过程中都毫无例外的包含有“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。本文将揭示，该推理是错误的。
为了方便起见，下面附上人教版数学七年级下册第58页中给出的证明：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
于是                                   p=√2q.
两边平方得                             p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
                                   q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.
笔者评析：无论哪个版本，也无论是否明确声明，事实上在证明√2不是有理数的过程中都是首先应用了q是整数这个假设，否则就无法得出p2是偶数之结论。接下来我们看到的便是“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。笔者的质疑是，如果引号中的推理是合理的，再加上此前的q是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设q是整数，则p是偶数（偶数也是整数），从而说明√2可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾！因此，引号中的推理是错误的，传统的证明方法是无效的。
那么，引号中的推理为什么是错误的？笔者认为，是人们在推理中潜意识地应用了p是整数这个并不成立的论断。为什么不成立？请看下面笔者的证明。
命题：如果x2=2，那么x不能表成两个整数之比 。
证明：假设存在整数p和q满足（ p/q）2=2，下面推矛盾。
不妨先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）：
p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。
p不能是偶数，如若不然：设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无限多个因数2，这与算术基本定理（每个大于1的正整数均可分解成有限个素数之积）相矛盾。
所以，p不是整数。
综上，对于（ p/q）2=2，如果q是整数，则p不是整数，这说明原命题为真。
说明：
①论证中出现有p=2r和r是偶数。令r=2r1（r1为整数），代入p=2r，得p=22r1。同理可得p=23r2（r2为整数）。……故p含有无限多个因数2。
②也可以先固定p是整数来证明命题，只是比较麻烦一些，其证明此处从略。
③证明p和q不都是整数的正确做法是，先固定其中的一个是整数，然后通过假设另一个也是整数推出矛盾，从而否定后者是整数。相反，试图在p和q都是整数的假设下（注：此后并未对“假设p为整数”或“假设q为整数”中的一个进行否定）证明“√2不是有理数”是行不通的，因为它与上述已证命题“√2不是有理数”（即√2= p/q（p和q不都是整数））相矛盾。
④笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
关于上文引号中的推理不能成立的理由，还可以换一种说法，这就是，证明中在前面已经应用了q是整数这一假设，后面再应用p是整数进行推理（注：此后并没有对p是整数进行否定）就与本文已证命题“√2不是有理数”（即√2= p/q（p和q不都是整数））相矛盾了。