揭秘挂谷猜想：从旋转针到数学最前沿

luyuanhong

揭秘挂谷猜想：从旋转针到数学最前沿

原创 mathematici 数学家 2025 年 02 月 28 日 06:29 北京


王虹，数学家，1991 年生于广西桂林，2007 年进入北京大学地球与空间科学学院学习，后转系至数学科学学院，2011 年获北京大学数学学士学位，2019 年获麻省理工学院博士学位。她于 2021 年 6 月完成在普林斯顿高等研究院的博士后研究工作，并于当年 7 月起任加州大学洛杉矶分校（UCLA）助理教授。2023 年 7 月起任纽约大学库朗数学研究所副教授。主要致力于傅里叶分析研究，在 Annals of Mathematics 、Inventiones mathematicae 等刊发表多篇文章。她曾与 08 级本科院友张瑞祥及合作者一起，证明了 2+1 维波动方程的 Sogge 局部光滑性猜想。2022 年获玛丽安·米尔扎哈尼新前沿奖。

编者按  菲尔兹得主陶哲轩近日在其博文中对王虹等人解决 3 维挂谷猜想的工作给出高度评价，这一成果使得王虹成为下届菲尔兹奖的最热门人选，并有望成为首位获得菲尔兹奖的华人女数学家。

本文尝试带您走进 Kakeya 猜想的世界，探索它的起源、发展历程、数学意义及最新突破。通过这一篇文章，您将看到一个简单的旋转针问题如何演变为数学前沿的经典难题。

挂谷猜想（Kakeya 猜想）是一个看似简单却蕴含深奥数学原理的几何问题。自从 1917 年由日本数学家挂谷宗一提出以来，它跨越了几何学、调和分析、偏微分方程等多个领域，成为现代数学研究中的一个核心课题。

一、起源：旋转针的问题

Kakeya 猜想的起源可以追溯到 1917 年。当时，日本数学家挂谷宗一（Soichi Kakeya）提出了一个引人入胜的问题：在二维平面上，如何在一个区域内旋转一根长度为 1 的针，使其旋转 180 度后回到初始位置，并且所占用区域的面积最小？这是一个直观的几何问题，似乎与日常生活中物体的移动有关，但其答案却超出了人们的常识。

1928 年，苏联数学家阿布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）给出了一个令人震惊的解答。他证明，可以构造出一个面积任意小的区域，甚至是测度（类似于面积）为零的集合，仍能容纳这根针在所有方向上的旋转。这种集合后来被称为Kakeya 集合或 Besicovitch 集合。贝西科维奇的构造方法非常巧妙，他利用了一种分形-like 的几何结构，将一根线段不断分割并重新排列，最终形成一个测度为零但包含所有方向线段的集合。

贝西科维奇的构造方法

为了帮助理解，我们简要介绍一下贝西科维奇的构造过程。假设我们从一个单位正方形开始：

1. 将正方形分成多个细长的三角形。

2. 将这些三角形沿着某个方向平移，形成一个高度压缩的结构。

3. 通过迭代这一过程，不断减少总面积，同时确保每个方向的单位线段都能被包含。

最终得到的集合虽然面积趋于零，但其复杂的分形结构足以容纳针的所有可能方向。这种结果颠覆了人们对空间占据的直觉，也为 Kakeya 猜想的后续研究奠定了基础。

二、发展：从二维到高维

贝西科维奇的工作虽然解决了旋转针的具体问题，却引出了一个更广义的数学挑战：在一个 n 维欧几里得空间中，包含每个方向上单位线段的集合（即 Kakeya 集合）的最小可能维度是多少？Kakeya 猜想提出，这样的集合必须具有完整的 Hausdorff 维度 n ，也就是说，在 n 维空间中，它的维度不能小于 n 。

二维情况的证明

在二维平面上，Kakeya 猜想已经得到了完全解决。1971 年，数学家罗杰·戴维斯（Roger Davies）证明，任何二维 Kakeya 集合的 Hausdorff 维度均为 2 。这一结果表明，在平面上，包含所有方向单位线段的集合不可能“太小”，其维度必须达到空间的满维。

高维的挑战

然而，当维度增加到三维及以上时，问题变得异常复杂。例如，在三维空间中，Kakeya 集合需要包含沿每个方向（即单位球面上所有点）的单位线段。这时，数学家们开始怀疑，是否仍然存在测度为零的 Kakeya 集合，或者其维度是否必须等于 3 ？这些问题推动了 Kakeya 猜想向更高维度的探索，但直到最近，高维情况下的猜想仍未完全解决，成为数学界的开放难题。

三、数学意义：连接多个领域

Kakeya 猜想的重要性远远超出了几何学的范畴。它与多个数学领域紧密相连，成为一座连接纯理论与实际应用的桥梁。

与调和分析的联系

在调和分析中，Kakeya 猜想与 Fourier 限制问题和 Bochner-Riesz 猜想等核心课题密切相关。Fourier 限制问题研究的是函数的傅里叶变换在特定曲面上的行为，而 Kakeya 集合的几何性质直接影响了这些问题的边界估计。例如，数学家们发现，如果 Kakeya 集合的维度可以小于 n ，那么某些调和分析中的不等式将不再成立。因此，证明 Kakeya 猜想不仅能深化调和分析的理论，还可能影响信号处理的数学基础。

与偏微分方程的关系

Kakeya 猜想还与偏微分方程的研究息息相关。例如，在研究波动方程的解时，Kakeya 集合的性质决定了波的传播是否会在某些方向上衰减。这种联系使得 Kakeya 猜想在物理学和工程学的数学建模中具有潜在的应用价值。

新工具的诞生

Kakeya 猜想的研究催生了许多新的数学方法，例如多项式方法和代数组合学。这些工具最初是为了分析 Kakeya 集合的几何结构而开发的，但后来被广泛应用于其他数学难题的解决中。例如，多项式方法在解决有限域上的 Kakeya 问题时取得了巨大成功，随后被推广到实数域的研究中。

可以说，Kakeya 猜想不仅是一个独立的数学问题，更是一个激发创新的源泉，推动了多个领域的协同发展。

四、最新进展：三维 Kakeya 猜想的突破

就在不久前的 2025 年 2 月，数学家王虹（Hong Wang）和约书亚·扎尔（Joshua Zahl）在 arXiv 上发布了一篇预印本，宣布他们成功解决了三维 Kakeya 猜想。他们证明，在三维欧几里得空间中，Kakeya 集合的 Minkowski 维度和 Hausdorff 维度均为 3 。这一成果完全验证了三维情况下的 Kakeya 猜想，标志着该领域的一个里程碑。

王虹与扎尔的创新

王虹和扎尔的工作引入了新的数学技术和方法。他们通过分析 Kakeya 集合的几何结构，结合多项式方法和代数工具，证明了包含所有方向单位线段的集合在三维空间中不可能具有小于 3 的维度。他们的论证过程异常精细，涉及以下几个关键步骤：

1. 将 Kakeya 集合分解为多个小的几何单元。

2. 使用多项式函数限制这些单元的分布。

3. 通过迭代分析，确保集合的维度达到满维 3 。

这一突破不仅解决了三维问题，还为更高维 Kakeya 猜想的研究提供了宝贵的思路和工具。

五、Kakeya 猜想的应用前景

Kakeya 猜想的理论研究看似抽象，但其成果在现实世界中具有广泛的应用潜力。

信号处理

在信号处理领域，Kakeya 猜想与 Fourier 分析的联系使其成为优化算法的关键。例如，在压缩感知技术中，Kakeya 集合的维度特性可以帮助设计更高效的信号采样方法，从而提升数据压缩和传输的效率。

图像重建

在医学成像（如 CT 扫描）和图像重建中，Kakeya 猜想的研究成果可以改进投影算法。Kakeya 集合的几何性质直接影响了从有限视角重建三维图像的精度，这对于提高诊断设备的性能具有重要意义。

物理学建模

Kakeya猜想还可能在物理学中找到应用。例如，在研究电磁波或声波的传播时，Kakeya 集合的性质可以用来分析波在不同方向上的叠加效应，从而优化建模精度。

六、未来展望

尽管三维 Kakeya 猜想已被解决，但高维情况下的猜想仍然悬而未决。此外，还有一个更强的版本——最大函数 Kakeya 猜想，涉及更复杂的数学结构，目前尚未突破。未来的研究可能集中在以下几个方向：

1. 高维 Kakeya 猜想：探索四维及更高维空间中 Kakeya 集合的维数问题，验证其是否始终具有满维。

2. 最大函数版本：研究 Kakeya 最大函数的行为，进一步深化与调和分析的联系。

3. 跨领域应用：将 Kakeya 猜想的研究成果应用于信号处理、图像重建等领域，推动理论向实践的转化。

Kakeya 猜想的研究历程展现了数学的独特魅力：一个简单的旋转针问题，竟然能演化出如此丰富的数学结构和深刻的理论。随着更多数学家的加入和跨学科合作的推进，Kakeya 猜想及其相关课题必将在未来迎来更多突破。

从 1917 年的旋转针问题，到 2025 年的三维突破，Kakeya 猜想走过了一个多世纪的探索之路。它不仅是数学家智慧的结晶，更是一个关于好奇心和创造力的故事。无论您是数学爱好者还是普通读者，这个猜想都向我们揭示了一个真理：最简单的问题，往往蕴藏着最深邃的答案。中国数学家在这一领域的贡献，也让我们有理由相信，未来的数学舞台上，中国力量将更加耀眼。

数学家

qwerty

两个蠢货宣称证明挂谷猜想。最近疯传的两位数学人证明了挂谷猜想，找到论文大概看了一下，得出结论：荒唐-荒谬-荒诞！

缘起
【1】

五十年来，数学家们一直在寻求三维情形下这一问题的最优解：将铅笔悬在空中，使其指向过所有方向，同时最小化划过区域的体积。这个看似简单的问题难倒了不少当代最杰出的数学家，始终是众多未解难题中的佼佼者。

两位数学白痴：纽约大学柯朗研究所的王虹（Hong Wang）与不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔（Joshua Zahl）在预印本平台Arxiv上发表论文《Volume estimates for unions of convex sets，and the Kakeya set conjecture in three dimensions》，宣称证明了3维挂谷猜想——他们界定了这种运动模式的最小体积极限。

【2】

悬念升级：从二维到三维的问题演变与数学关联

1917年，挂谷宗一（Sōichi Kakeya）提出了这个问题，但假设铅笔是无限细的。他找到了一种滑动无限细铅笔的方式，使得扫过的面积比凭直觉做圆周运动扫过的面积更小。

挂谷宗一想知道铅笔究竟能扫过多小的区域。两年后，俄罗斯数学家阿布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）给出了答案：通过一组复杂的窄幅转向，理论上可以覆盖零面积。

这大致上为这个问题画上了句号，直到1971年——当时查尔斯·费弗曼（Charles Fefferman）正在研究一个看似与旋转线条无关的课题：傅里叶变换（Fourier transform）。这种基础数学工具能将任意数学函数重新表示为波的组合。在费弗曼的工作中，挂谷问题的变体版本不断出现。此时铅笔具有粗细并在三维空间中旋转。这种情况下，挂谷问题转化为——当你改变铅笔的宽度时，它扫过的空间体积会如何变化？

复杂性：二维问题更直观，方向是有限的（圆周上的点），而三维方向是球面上的无穷多点，增加了分析难度。

问题背景：在三维空间 R3 中，挂谷猜想问：包含所有方向上单位线段的集合，其维数是否必须为3？这比二维复杂得多，因为方向的数量从平面的"360度"增加到了三维空间中的"球面方向"（无穷多个）。

数学家更倾向于用稍有不同但等价的方式重新表述这个问题。与其在空间中移动一支铅笔，不如同时想象铅笔轨迹中的每一个位置。这样你会得到一个由虚拟的、指向四面八方的重叠管状结构组成的结构，这种结构被称为卡克亚集（Kakeya set）。你可以平移这些管状结构，但不能旋转它们。你的目标是构造出重叠程度最高的结构。

3维挂谷猜想认为集合的闵可夫斯基维数必须为3。这是一种非常弱的关系——例如，若将管道粗细减半，最多只能移除极小部分体积。

复杂性：二维问题更直观，方向是有限的（圆周上的点），而三维方向是球面上的无穷多点，增加了分析难度。

问题背景：在三维空间 R3 中，挂谷猜想问：包含所有方向上单位线段的集合，其维数是否必须为3？这比二维复杂得多，因为方向的数量从平面的"360度"增加到了三维空间中的"球面方向"（无穷多个）。

然而，证明这个看似弱的约束条件却难如登天。

【4】

攻克数学界的挂谷猜想是公然造假

纽约大学柯朗研究所的王虹（Hong Wang）与不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔（Joshua Zahl）在预印本平台Arxiv上发表论文《Volume estimates for unions of convex sets，and the Kakeya set conjecture in three dimensions》，宣称证明了3维挂谷猜想——他们界定了这种运动模式的最小体积极限。

批判

【1】

老师水平低。

约书亚·扎尔的老师是数学陶哲轩，（详见：陶哲轩，菲尔兹奖桂冠下的数学赝品陶哲轩，，这样一个不合格老师的学生，只能培养不合格学生。王虹的老师我不清楚，不做评价，但是，王虹与一个不合格同事在一起搞研究，
可以想象能够搞成什么荒唐的事情。



【2】，

数学命题证明本身的问题。

数学思维必须符合逻辑，演绎证明某事肯定是这样，归纳说明某事在实际上是有效的，溯因仅仅表明某事可能是，所以溯因是推理中较弱的一种形式。

溯因整理成为一个命题叫做猜想（证明一个猜想是告诉你结果，让你按照规则找出原因-过程的必然性，把道理讲清楚）。

我们证明一个数学命题就是一种整体上弱势溯因推理，每一个局部需要强势演绎推理，这是无法克服的困难----超出了人类认识问题和解决问题的能力！

况且，，一个事实可能有多种原因，不能用陶哲轩参数归纳方法，我们要找到那个必然的原因，并且用演绎推理证明就是它。好比逆水行舟,盲人摸象。

演绎是从一般到特殊，归纳是从很多特殊到某一个一般。但是，溯因逻辑是从一个现象或者一个事实，反推出可能存在的原因。

人永远需要理由，解释永远需要解释来解释。数学家用公理把数学推理的无穷退后阻断，防止无休止的循环论证。公理让数学有了合法性。

凡是论文有十几页以上的，几乎全部都是错误的，何况他们的论文127页。人类不可能连续推理几十步-上百步不出现错误。

【3】

论文有或然推理的内容。

错误A；他们的论文中不是每一步都采用强势的演绎推理，而是使用了估计等或然推理的方法（ 粘性假设的改进：之前的研究表明，粘性挂谷集合是可能反例的候选。2022年解决粘性情形后，此次证明通过新的体积估计方法，排除了所有可能的非粘性反例）。

或然推理的前提与结论之间没有蕴含关系，是一种不可靠的判断，详见后面介绍。

【4】

错误B：他们采用了抽样调查的方法，即不完全归纳法。注意，演绎证明是从一般到特殊。而王虹他们的证明是从几个特殊推出一般，这个就不是证明了，而是胡闹！

2022年，在现代版本挂谷猜想提出五十周年之际，说王虹与扎尔取得了重大进展。他们遵循卡茨（Katz）与陶哲轩（Terence Tao）[8]2014年提出的研究框架，分析了一类棘手的卡克亚集。他们证明这类集合的维数均为3，这个证明适用于闵可夫斯基维数以及一个相近的叫豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）的概念。排除这一恼人的特殊类别后，他们需要证明所有其他卡克亚集的维数也是3。

他们采用了分步推进的策略：首先研究某个狭窄的维数区间（如2.5至2.6），证明不存在该区间内的卡克亚集。他们想当然认为：若能对所有区间重复这一过程（注意，他们没有对所有的区间重复这一过程，只是抽样了2.5至2.6），即可证明整个猜想（任何一个区间都是一个普遍概念命题，无穷多个区间有无穷多个普遍概念命题，就需要逐一证明，与费马大定理一样都是二阶逻辑命题，无法一次性证明）。

荒唐的是，王虹与扎尔认为无需从零开始。汤姆·沃尔夫（Tom Wolff）在1995年已证明：任何三维卡克亚集的豪斯多夫维数或闵可夫斯基维数都不可能低于2.5。但研究者们需要找到一种方法，证明介于2.5到（例如）2.500001之间的维数同样不可能存在。通过重复这一论证过程，他们可以将维度下限逐步推升至2.500002，并以此类推。每次推进本质上都在证明——在如此微小的增量范围内，不可能存在满足条件的卡克亚集。

他们认为无需逐一繁琐地证明这数百万个增量区间的每一个。他们只需证明第一个增量，同时展示当前边界能够推导出下一个稍大的边界。

此外，他们还需要证明这一推导过程无论从哪个起始点开始都成立。通过这种方式，就足以说明边界可以被逐步推进，最终达到3这个目标值。归纳法常常是有效的，但是，数学证明只认演绎推理，不承认归纳推理，除非是完全归纳。

【5】

错误C: 他们使用反证法，用假设推翻假设（只能用定理-公理-正确的客观事实推翻假设）。

他们先假设存在一个三维挂谷集合，其维数小于3（比如闵可夫斯基维数 d<3）。他们再假设的多种可能，利用多尺度分析，他们分解管子集合在不同尺度上的行为，结合"平坦性"（plany）和"颗粒性"（grainy）等性质，推导出矛盾（用假设否定假设）。

之前的研究表明，粘性挂谷集合是可能反例的候选。

错误d，违反三段论规则：
大前提：有一个否定的反例（他们首先假设存在一个闵可夫斯基维数小于3的粘性反例）特称判断i。
小前提，反例不存在（扎尔说。现在他们需要证明平坦、颗粒状和粘性特性相互抵消并导致矛盾，这意味着这个反例实际上不可能存在。）否定判断o、
结论：3维挂谷猜想成立。全称肯定判断A。
即:IOA错误格式。
根据三段论格式规则（一共有8条），其中：大前提特称判断，小前提否定判断，不能得出结论。

2022年解决粘性情形后，此次证明通过新的体积估计方法（演绎证明不能使用“估计”），排除了所有可能的非粘性反例。

估计的使用就是假设。天啊！两个弱智居然用假设否定假设（与丘成桐一样：丘成桐证明的正质猜想使用反证法是预期理由的逻辑错误）。只能用定理-公理-正确的客观事实才能否定假设。