已知 \(2^m=3，3^n=2\)，求 \(\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}\) 的值。

天山草

已知 \(2^m=3，3^n=2\)，求 \(\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}\) 的值。

Ysu2008

\(\begin{cases}
2^m=3\Rightarrow m=\frac{\log3}{\log2}\\
3^n=2\Rightarrow n=\frac{\log2}{\log3}
\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{\frac{\log3}{\log2}+1}+\frac{1}{\frac{\log2}{\log3}+1}=\frac{\log2+\log3}{\log3+\log2}=1\)

波斯猫猫

(1) ∵  2^m=3，3^n=2，
∴ 2^(m+1)=6，3^(n+1)=6，
即1/(m+1)=lg2/lg6，1/(n+1)=lg3/lg6.
∴ 1/(m+1)+1/(n+1)=1.

(2)∵  2^m=3，3^n=2，
∴ (2^m)^n=2，即2^(mn)=2，或mn=1.
∴ 1/(m+1)+1/(n+1)=(m+n+2)/[(m+1)(n+1)]
=(m+n+2)/(m+n+2)=1.

天山草

这是抖音上的一个初中数学老师发的短视频讲的题，针对还没有学过对数的学生。这个老师的方法是楼上的第 (2) 种方法。这位老师还提出了不用对数的另一种解法：

由 \(2^m=3\)，两边乘 \(2\) 得 \(2^{m+1}=6\)，两边同时 \(\frac{1}{m+1}\) 次方得  \((2^{m+1})^\frac{1}{m+1}=6^\frac{1}{m+1}\)，即 \(2=6^\frac{1}{m+1}\)。
同样，由 \(3^n=2\)，两边乘 \(3\) 得 \(3^{n+1}=6\)，两边同时 \(\frac{1}{n+1}\) 次方得  \((3^{n+1})^\frac{1}{n+1}=6^\frac{1}{n+1}\)，即 \(3=6^\frac{1}{n+1}\)。
所以 \(2×3=6^\frac{1}{m+1}×6^\frac{1}{n+1}\)。即 \(6^1=6^{\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}}\)。所以 \(\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}=1\)。

波斯猫猫

(1) ∵  2^m=3，3^n=2，
∴ 2^(m+1)=6，3^(n+1)=6，
即1/(m+1)=lg2/lg6，1/(n+1)=lg3/lg6.
∴ 1/(m+1)+1/(n+1)=1.

(2)∵  2^m=3，3^n=2，
∴ (2^m)^n=2，即2^(mn)=2，或mn=1.
∴ 1/(m+1)+1/(n+1)=1/(m+1)+1/(1/m+1)
=(m+1)/(m+1)=1.