惊！抽屉原理：用‘魔法盒子’破解 10 大数学难题！借球／分书／摸球…生活场景秒懂！

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惊！抽屉原理：用‘魔法盒子’破解 10 大数学难题！借球／分书／摸球…生活场景秒懂！

原创 公式库 公式库 2025 年 02 月 23 日 内蒙古

大家好！今天我们要讲一个超级有趣的数学原理——抽屉原理。听起来是不是很神奇？其实它就像是一个魔法盒子，能帮我们解决很多看起来很难的问题。别急，我会用最简单的方式，让你轻松理解它，还会用它来解开一些有趣的谜题。准备好了吗？让我们一起出发吧！

一、什么是抽屉原理？

想象一下，你有 5 个苹果，但只有 4 个抽屉。你会怎么做呢？不管你把苹果怎么放，总有一个抽屉里会放不下，对吧？这就是抽屉原理的核心思想：当东西（苹果）比盒子（抽屉）多的时候，至少有一个盒子里的东西会比别的盒子多。

用更简单的话来说，抽屉原理就是：如果有个东西放进个盒子里，那么至少有一个盒子里会有 2 个或更多的东西。

二、用抽屉原理解开有趣的谜题

题目 1 ：借球问题

题目描述：学校买来了红、黄、蓝、绿四种颜色的球，每个学生最多只能借 2 个球。至少要有多少个学生借球，才能保证有两个学生借的球是一样的呢？

解答过程：

先数数有多少种借球的方式：

如果借 1个球，有 4 种可能（红、黄、蓝、绿）。

如果借 2 个球，有 6 种可能（红+黄、红+蓝、红+绿、黄+蓝、黄+绿、蓝+绿）。 所以，总共就有 4 + 6 = 10 种不同的借球方式。

用抽屉原理来想：

假设有 10 个学生，每个学生借的球都不一样，那正好是 10 种借球方式。但如果再有一个学生呢？不管他怎么借，都会和前面 10 个学生中的某一个借的球一样。所以，至少需要 10+1 = 11个学生。

答案：至少需要 11 个学生。

题目 2 ：分书问题

题目描述：班上有 50 个小朋友，老师要分书给他们，最少要拿多少本书，才能保证至少有一个小朋友能得到 2 本书呢？

解答过程：

先想想最坏的情况： 如果每个小朋友都只分到 1 本书，那么 50 本书正好分完。但只要再加 1 本书，无论给哪个小朋友，他都会拿到 2 本书。

用抽屉原理来算：50 个小朋友就是 50 个抽屉，书就是东西。要保证至少有一个小朋友拿到 2 本书，就需要 50+1 = 51 本书。

答案：至少需要 51 本书。

题目 3 ：摸球问题

题目描述：一个盒子里有 5 种颜色的球，每次摸球的时候，最少要摸几个球，才能保证有 3 个球颜色是一样的呢？

解答过程：

先想最坏的情况： 假设我们每次摸球的时候，都尽量让每种颜色的球数量少一点，也就是尽可能不让同一种颜色的球达到 3 个。因为一共有 5 种颜色的球，所以我们先每种颜色都摸 2 个球。这时候一共摸了 2×5 = 10 个球。此时呢，每种颜色的球都刚好有 2 个。

再摸一个球会发生什么：当我们再摸 1 个球的时候，不管这个球是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数量变成 3 个。就好像原本每种颜色都有 2 个“小队伍”，现在又多了 1 个小成员，那必然会有一个“小队伍”达到 3 个人啦。所以，最少需要摸 10+1 = 11 个球。

答案：最少需要摸 11 个球。

题目 4 ：选珠子问题

题目描述：有白、绿、蓝、红四种颜色的珠子，每个人可以选 3 颗珠子。最少要多少人选珠子，才能保证有两个人选的珠子颜色完全一样呢？

解答过程：

先数数有多少种选珠子的方式：

3 颗珠子颜色都一样：有 4 种可能（白、绿、蓝、红）。

2 颗珠子颜色一样，1 颗珠子颜色不一样：比如 2 颗白珠子 + 1 颗绿珠子，这样的组合有 6 种。

3 颗珠子颜色都不一样：有 4 种可能（缺白、缺绿、缺蓝、缺红）。

所以，总共有 4+6+4 = 14 种不同的选珠子方式。

用抽屉原理来想：假设有 14 个人，每个人选的珠子都不一样，那正好是 14 种选珠子的方式。但如果再有一个人呢？不管他怎么选，都会和前面 15 个人中的某一个人选的珠子一样。所以，最少需要 14+1 = 15 个人。

答案：最少需要 15 个人。

题目 5 ：跳绳测验问题

题目描述：班上有 48 个同学参加跳绳测验，最多的同学跳了 175 次，最少的同学跳了 160 次。最少要挑出多少个同学，才能保证有 3 个同学跳的次数是一样的呢？

解答过程：

先数数有多少种跳绳次数：从 160 次到 175 次，一共有 175 - 160 + 1 = 16 种不同的跳绳次数。

再想最坏的情况： 假设每种跳绳次数都有 2 个同学，那么一共会有 2×16 = 32 个同学。这时候，每种跳绳次数都有 2 个同学。

再挑一个同学会发生什么：不管新挑出来的同学跳了多少次，都会让某种跳绳次数的同学变成 3 个。所以，最少需要挑 32+1 = 33 个同学。

答案：最少需要挑 33 个同学。

三、抽屉原理的“魔法”公式

通过上面的题目，我们发现抽屉原理其实有一个很简单的“魔法”公式：

公式：如果有 m 个东西放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会有 m÷n（向上取整）个东西。

步骤：

找出“抽屉”和“东西”分别是什么。

数一数“抽屉”和“东西”的数量。

用“魔法”公式算一算，就能找到答案啦！

四、10 道练习加答案详解

练习题目

1．有白色和黑色相同的袜子 4 双，散放在一个布袋里，在黑暗中，每次让你从中摸出一只袜子，你至少摸出多少次才能保证得到同样颜色的一双袜子？

2．幼儿园的小班有 18 个小朋友，至少有几个小朋友在同一个月过生日？

3．有一个面积为 8 的长方形，在这个长方形内任意加 9 个点，那么其中必定有 3 个点所构成的三角形的面积不大于 1 ，为什么？

4．40 名学生跳集体舞，其中 10 名男生和 10 名女生面朝外围成一圈作为内圈，其余的 20 名学生面朝内围成一圈作为外圈。当外圈学生转动使外圈每一个学生对着内圈的一个学生时，将两个男生或两个女生相对的情况称为一个配对方式。请证明：总有一个位置，使得配对数不少于 10 个。

5．五（1）班有 37 名同学，至少有几名同学在同一个月过生日？

6．一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种．问最少要摸出多少只手套才能保证有 3 副各自同色的？

7．一副扑克牌共 54 张（其中有 2 张王牌），问至少从中抽出多少张牌才能保证至少有 4 张牌是黑桃。

8．有黑色、白色、黄色的筷子各 8 根，混杂地放在一起，想从这些筷子中取出颜色不同的筷子两双，问至少要取出多少根，才能保证达到要求？

9．在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等于 238 ？

10．有 19 个同学参加了三个课外活动小组，它们分别是数学组、美术组、电脑组，每人可参加一个组、两个组或三个组活动．问：这些同学中至少有几个同学参加了相同的组？

答案详解

1.【分析】考虑最差情况可知：取出 2 只，白色和黑色各一只，那么再任意取出 1 只，一定可以保证有同样颜色的一双袜子。 【解答】解：2+1＝3（次） 答：至少摸出 3 次才能保证得到同样颜色的一双袜子。

2．【分析】一年有 12 个月，那么把这 12 个月看作 12 个抽屉，要求至少有几个小朋友在同一个月过生日，可以考虑最差情况：18 名尽量平均分配在 12 个抽屉中，利用抽屉原理即可解答。 【解答】解：18÷12＝1（个）……6（个） 1+1＝2（个） 答：至少有 2 个小朋友在同一个月过生日。

3．【分析】把这个长方形平均分成四个长方形，把这四个小长方形看作 4 个抽屉，画上的 9 个点相当于 9 个元素，这样至少有 3 个元素落在某一个抽屉里，如图就有 3 个点；然后进一步解答即可。



【解答】解：如图，把这四个小长方形看作 4 个抽屉， 9÷4＝2（个）……1（个） 2+1＝3（个） 这样至少有 3 个元素落在某一个抽屉里，再对这三个点作如下分析，因为小长方形的面积是 8÷4＝2 ，所以即使这三个点落在小长方形的三个角上或者两个点落在一侧的两个角上，另一个点落在对边上，则构成的三角形面积也只能等于 2÷2＝1 ，不可能大于1 ；如果这三个点落在小长方形内部，构成的三角形的面积一定小于 1 。由此可见，必定有 3 个点所构成的三角形的面积不大于 1 。

4．【分析】先求出 40 名学生内外圈共有多少种配对方式，再根据抽屉原理解答即可。

【解答】解：10 名男生和 10 名女生面朝外围成一圈作为内圈，所以整个转动一圈，那么外圈的每个学生都有 10 个配对机会，20 名学生面朝内围成一圈作为外圈，所以外圈就有 20×10＝200（个）配对数，又因为转动一圈有 20 个位置，根据抽屉原理，200÷20＝10 ，所以总有一个位置，使得配对数不少于 10 个。

5．【分析】一年有 12 个月，那么把这 12 个月看作 12 个抽屉，要求至少有多少名同学在同一个月过生日，可以考虑最差情况：37 名尽量平均分配在 12 个抽屉中，利用抽屉原理即可解答。

【解答】解：把 12 个月看作12个抽屉， 37÷12＝3（个）……1（个） 3+1＝4（名） 答：至少有 4 名同学在同一个月过生日。

6．【分析】把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有 1 副同色的，就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据最差原理，最少要摸出 5 只手套．这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套．再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的，据此解答即可。

【解答】解：把四种颜色看成是 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有一副同色就要摸出 5 只手套． 这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套． 根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的． 以此类推，要保证有 3 副同色的，共摸出的手套有：5+2+2＝9（只） 答：最少要摸出 9 只手套才能保证有 3 副同色的。

7．【分析】假设前面所抽出的花色都不是黑桃，则 13×3＝39 张后，再加上 2 张王，再摸 4 张，即可保证有 3 张黑桃。

【解答】解：13×3+2+4 ＝39+2+4 ＝45（张） 答：至少从中抽出 45 张牌才能保证至少有 4 张牌是黑桃。

8．【分析】把 3 种不同颜色看作 3 个抽屉，把 8 根不同颜色的筷子看作 8 个元素，从最不利情况考虑，其中一种颜色取尽，然后再取其它颜色，比如一个抽屉需要先放 8 根黑筷子，这时没有异色筷子，再在另外两个抽屉里不论放 2 根白色或 2 根红色还是 1 根白色和一根红色，不可能组成颜色不同的两双筷子，所以还需要再取 1 根，因此至少要取出：8+2+1＝11（根）；据此解答。

【解答】解：8+2+1＝11（根）； 答：至少要取 11 根才能保证达到要求。

9．【分析】首先分析 238 的因数，使其中 2 个因数相乘得 238 的共 3 组，利用最不利原则求出结果。

【解答】解：依题意可知： 将 238 分解成小于 200 的数字积有 238＝17×14＝7×34＝2×119 共有三组，即两数相乘等于 238 的因数有（17，14），（7，34），（2，119）共 6 个数，可分为 3 组。最不利情况是：先选择了其他的 194 个数，再从三组因数中每组挑选一个共 197 个，再选择一个，就能使两个因数的积是 238 了。共 197+1＝198 。 答：至少选出 198 个才能保证有两个数的乘积是 238 。

10．【分析】这道题就是要把 19 个同学放到若干个小组里去．已知物体（元素）是 19 ，接下来是要确定抽屉．因为每个人可以参加三个课外小组的一个、两个或三个，这样就不是 3 个抽屉，而是（3+3+1）个抽屉了，然后可根据抽屉原理 2 去解答，至少有 3 个同学参加了相同的小组.。

【解答】解：19÷（3+3+1）＝2（个）…… 5（个）。

五、总结

抽屉原理就像是一个超级厉害的“魔法”，它能帮我们解开很多看起来很难的谜题。只要我们找到“抽屉”和“东西”，再用简单的公式一算，答案就出来了！

希望今天的数学“魔法”课让你觉得有趣又简单！如果你还有其他问题，或者想用抽屉原理解开更多的谜题，欢迎在评论区留言哦！别忘了点赞和分享，让更多小伙伴也能学会这个“魔法”！

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