计算二维平面图中所有轮构型的辐边总和

朱明君

在探索二维平面图中轮构型的奥秘时，我们首先需要掌握一系列关键参数，这些参数是理解整个结构复杂性的基石。节点总数n，它代表了图中所有点的数量；外围节点个数m，即构成轮构型最外层的点数；第二环节点个数d，紧邻外围节点的内一环上的点数；以及中心区域调整项边的个数z，它反映了中心区域辐边的增加或减少。 当我们面对一个具体的二维平面图时，辐边的总和w的计算就显得至关重要。这个总和不仅揭示了图中轮构型的复杂性，还帮助我们理解不同节点之间的连接方式。根据中心区域是否有额外的辐边，我们有两种不同的计算公式。当z为正时，意味着中心区域有额外的辐边，计算公式为w = 6(n - m - 1) + (m - d) + z。相反，如果z为负，表明中心区域的辐边减少了，计算公式相应地变为w = 6(n - m - 1) + (m - d) - z。 这些公式背后的逻辑是基于每个内部节点理论上应该连接六条边，但由于是平面图且轮构型中心不计算外围边，所以实际用于辐边的边数为6减去与外围节点相连的边数。通常，这个值简化为6，因为内部节点不与外围边直接相连。n-m-1表示内部节点的数量，而(m - d)则表示从外围节点到第二环节点减少的辐边数。这个减少量反映了外围节点相对于内一环节点在形成辐边时的差异。 中心区域调整项z是整个计算中的关键变量，它代表了中心区域辐边的增加或减少。理解了这些参数和公式后，我们就可以计算出所有轮构型辐边数的总和，这为我们深入分析二维平面图提供了有力的工具。 此外，中心区域结构的多样性也是不可忽视的。以多边形为模型进行三角剖分时，多边形节点的个数n和边的个数v之间的关系是v=2n-3。中心区域所有节点产生的边数a和调整项边数z的关系是z=(2n-3)-a。这个公式为我们进一步分析中心区域的边数情况提供了依据，但实际应用时，我们还需结合二维平面图的具体情况。 在某些情况下，如果中心区域节点产生的边数a少于多边形边数v，那么调整项z为负，即-z；反之，如果a多于v，调整项z为正，即+z。如果中心区域节点产生的边数恰好等于多边形边数，那么调整项z为零。对于只有一个节点、两个节点或多个节点构成的多边形（三角剖分）的特殊情况，我们不需要调整项。 无论二维平面图由外向内有多少环，我们在计算辐边总和时，只需关注总节点个数和第一第二环上的节点数以及中心区域调整项边数。这样的计算方法不仅适用于简单的图形，也能应对更加复杂和多变的二维平面图结构。 注：外围节点个数为m，即第一环。 第二环（紧邻外围节点的内一环）上的节点个数为d。若第一环内节点无法形成环，则该区域上的节点个数也为d。中心区域调整项边数也是z。