曲面之舞：加斯顿·达布（Darboux）的几何诗篇

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曲面之舞：加斯顿·达布（Darboux）的几何诗篇

原创  数理周日 数理拾光 2025 年 02 月 23 日



在 19 世纪末的法国数学界，群星璀璨，智慧的光芒交相辉映。在这片星空中，加斯顿·达布（Jean Gaston Darboux，1842-1917）的名字，或许不像庞加莱（Henri Poincaré）那样响彻寰宇，但他以其深邃的几何洞察、优雅的分析技巧，以及对数学教育的卓越贡献，谱写了一曲属于曲面、属于无穷小、属于几何的华美诗篇。

一、 早年岁月与求学之路

达布的一生，是一场与几何的深情对话。他出生于法国南部古城尼姆（Nimes）的一个商人家庭。一个有趣的小插曲是，他的出生日期在官方记录（8 月 14 日凌晨 1 点）和他自己坚持的说法（8 月 13 日午夜）之间存在着微妙的差异，这似乎也预示着他与数学之间那种精确而又充满趣味的关系。 父亲早逝，母亲阿利克斯·古尔杜（Alix Gourdoux）以坚韧的意志支撑起家庭，并竭尽全力确保达布和他的弟弟路易·达布（Louis Darboux）接受良好的教育。兄弟二人都曾在尼姆中学就读，从清晨六点到晚上八点，漫长的学习时间磨砺了他们的意志，也为他们日后的学术生涯打下了坚实的基础。

1859 年，达布从尼姆中学毕业，随后进入蒙彼利埃（Montpellier）中学的特殊数学班。在那里，他遇到了恩师查尔斯·贝格尔（Charles Berger）。贝格尔是一位毕业于巴黎高等师范学院（Ecole Normale Supérieure）的优秀教师，他不仅清晰地讲解课程内容，还悉心指导学生，引领他们走进高等数学的殿堂。在贝格尔的鼓励下，达布在入学考试中表现出色，获得了进入巴黎综合理工学院的资格。然而，他并没有选择这条通往工程师精英之路的道路，而是选择再花一年时间准备，并在次年同时报考了巴黎综合理工学院和巴黎高等师范学院，并且在这两所顶尖学府的入学考试中均名列榜首。

二、 巴黎高师的选择与巴斯德的赏识

这是一个非同寻常的抉择。在当时的法国，巴黎综合理工学院被视为培养国家领袖和工程师的摇篮，而巴黎高等师范学院则通常是那些希望成为中学教师的人的选择。达布的选择，不仅体现了他对教学和纯粹数学研究的热爱，也为巴黎高师带来了新的气象。正如 J-J Weiss 在 1861 年 11 月 20 日的《辩论报》（Journal des Débats）中所指出的那样，这一选择预示着高等数学研究新时代的到来。

达布的母亲亲自陪同他前往巴黎，并将他引荐给路易·巴斯德（Louis Pasteur），这位伟大的科学家当时正担任巴黎高师的科学主任。巴斯德对这位才华横溢的年轻人青睐有加，他不仅对达布选择高师感到欣慰，还特地请求部长批准达布可以自由参加校外的任何课程。这使得达布得以在法兰西学院（Collège de France）聆听约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand）的讲座，并与他建立了深厚的友谊。

三、 初露锋芒：正交曲面研究

在巴黎高师求学期间，达布迅速展现出他在数学研究方面的非凡天赋。他沉浸于蒙日（Gaspard Monge）、高斯（Gauss）、庞斯列（Poncelet）、杜潘（Dupin）、拉梅（Lamé）和雅可比（Jacobi）等大师的经典著作中，尤其对几何问题情有独钟。1864 年，他发表了第一篇关于正交曲面的论文，这篇论文由约瑟夫·塞尔雷（Joseph Serret）提交给法兰西科学院。同年 9 月，他在数学教师资格考试中再次名列第一。

为了让达布能够留在巴黎继续他的研究，巴斯德特地向教育部申请设立了一个“数学预备教师”的职位，并成功地让达布担任了这一职务。巴斯德在一份文件中对达布给予了极高的评价，称他是一位“在工作、品行、精神、性格和行为方面无可挑剔”的学生，并预言这位年轻人将“迅速跻身最杰出的数学家之列”。巴斯德强调，让这位年轻人留在巴黎是“绝对必要的”。

1866 年，达布以一篇题为《论正交曲面》（Sur les surfaces orthogonales）的博士论文获得了索邦大学（Sorbonne）的博士学位。这篇论文不仅包含了大量新颖的成果，还对库默尔（Kummer）的结果进行了推广，提出了一个由单一方程定义的、具有许多有趣性质的正交曲面系统。值得一提的是，穆塔尔（Moutard）在同一天也独立发现了这个系统。论文答辩委员会由米歇尔·沙勒（Michel Chasles）、约瑟夫·塞尔雷和克劳德·布凯（Claude Bouquet）组成，他们对这篇论文给予了高度评价。沙勒在报告中指出，这篇论文是对正交曲面进行广泛而重要的研究，它包含三个部分：第一部分研究了一个特殊的正交坐标系，第二部分探讨了正交曲面的一般性质，第三部分则展示了该方法的应用。

四、 辉煌的教学生涯

获得博士学位后，达布开始了他在教育领域的辉煌生涯。他先是在 1864-1865 年间代替贝特朗在巴黎的圣路易中学（Lycée Saint-Louis）教授特殊数学课程，随后又在法兰西学院代替贝特朗教授数学物理课程（1866-1867）。1867 年，他接替让-克劳德·布凯（Jean-Claude Bouquet）在路易大帝中学（Lycée Louis le Grand）教授特殊数学课程，并于一年后成为该校的正教授。

达布在教学中展现出非凡的才能。他不仅能够清晰地讲解复杂的数学概念，还能激发学生的学习热情。他的学生吕西安·莱维（Lucien Lévy）回忆说，达布能够让学生们在不知不觉中完成大量的工作，他的演讲清晰明了，他的论证具有个人特色，激发了学生的钦佩和热情。达布注重培养学生的批判精神和推理能力，而不是死记硬背。

1872 年，达布开始在巴黎高等师范学院负责微积分的讲座，并于次年成为终身教授。与此同时，从 1873 年到 1878 年，他在索邦大学担任利乌维尔（Liouville）的力学教席的代课教授。正是在那里，他的学生塔内里（Tannery）见证了达布对数学系的卓越贡献，并写道：“当达布指导数学系时，该系闪耀着无与伦比的光彩。”

五、 索邦大学的几何大师

达布的真正使命是高等几何。1878 年至 1881 年，他接替沙勒担任索邦大学高等几何学讲座的代课教授，并于 1881 年 4 月 8 日正式成为该讲座的教授，一直担任到去世。这个讲座最初是为沙勒展示他在射影几何方面的杰出工作而设立的。达布则以一种新的方式发展了教学，将其视为分析的应用，其创始人是欧拉（Euler）、蒙日和高斯。正是在这个讲座上，他担任了 37 年的教授，他创立了这个辉煌的几何学派，其弟子遍布各国，他发展了使他成为创造者的方法和成果，并将使他的名字永垂不朽。

六、 学术管理与社会贡献

除了教学和研究，达布还积极参与学术管理工作。1889 年，他被推选为巴黎科学院理学院的院长，并连续担任这一职务直到 1903 年。在他担任院长期间，巴黎大学进行了重建，索邦大学也在原址上进行了重建。达布积极推动科学研究和教育的发展，创建了多个教学和研究机构，包括位于居维叶街（rue Cuvier）的物理、化学和自然科学学院，位于米什莱街（rue Michelet）的应用化学研究所，位于乌尔姆街（rue d'Ulm）的植物进化实验室，位于枫丹白露（Fontainebleau）的植物生物学实验室，位于罗斯科夫（Roscoff）、巴纽尔斯（Banyuls）和维梅勒（Wimereux）的海洋动物学实验室，以及由拉斐尔·比斯霍夫斯海姆（Raphael Bischoffsheim）慷慨捐资建立的尼斯天文台（Nice Observatory）。

1900 年，达布接替贝特朗成为法兰西科学院的终身秘书。他以不知疲倦的活动和开明的奉献精神，帮助学院完成了多项任务：科学任务、行政任务、收入、资本、建筑物和遗产的管理。作为终身秘书，达布发表了许多重要的演讲和著作，涉及国际学院协会、天空地图、科学的统一性、富尔顿和科学院、几何精神和微妙精神、塞夫尔学校（Ecole de Sèvres）、学术团体的作用等。

七、 荣誉与认可

达布的学术成就得到了广泛的认可。他于 1884 年当选为法兰西科学院院士，并于 1900 年成为终身秘书。他还是 100 多个科学学会的成员，包括伦敦皇家学会（1902 年当选，并于 1916 年获得西尔维斯特奖章）。

八、 达布的几何世界：无穷小的诗篇

达布的数学贡献主要集中在几何学和分析学领域，但他善于运用分析和综合的方法，尤其是在微分方程理论中。他的几何思想深刻地影响了埃利·嘉当（Elie Cartan）等后辈数学家。

1875 年，达布发表了他对黎曼积分的看法，定义了上和和下和，并定义了一个函数是可积的，如果上和和下和之间的差值随着网格尺寸变小而趋于零。这一定义为微积分的基础提供了更清晰、更严格的表述，被称为达布积分。

达布的巅峰之作是四卷本的《曲面一般理论及无穷小微积分的几何应用讲义》（Lecons sur la théorie général des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal，1887-1896）。这部巨著汇集了他早期的研究成果，探讨了曲面在运动中的复杂世界，研究了一个曲面上的点和线在另一个曲面上滚动时所描绘出的轨迹。这不仅仅是抽象的理论，它对于理解从齿轮运动到柔性材料行为等方方面面都有着深远的意义。

九、 1908 年国际数学家大会演讲：未竟的探索

1908 年，在罗马举行的国际数学家大会上，达布发表了题为《无穷小几何的起源、方法和问题》的全体演讲。在这篇演讲中，他回顾了无穷小几何的发展历程，从古希腊的地图投影问题，到高斯的曲面论，再到蒙日、杜潘、拉梅等人的贡献，他强调了分析方法在几何研究中的重要性，同时也指出了几何直觉的不可替代性。

达布在演讲中特别强调了虚数在几何学中的重要性。他认为，数学家不应该回避虚数的使用，虚数不仅在分析学中发挥着重要作用，在几何学中也同样如此。他以极小曲面的研究为例，说明了虚数如何帮助人们理解和整合极小曲面，从而构成了无穷小几何中最引人入胜和完美的篇章。

达布还在演讲中提出了许多有待解决的问题，例如：

● 常挠曲线的研究： 如何找到代数的或单参数的常挠曲线？

● 常曲率曲面及其变换： 如何从一个常曲率曲面推导出无限多个具有相同常曲率的新曲面？

● 极小曲面的 Plateau 问题： 如何确定一个通过给定闭合轮廓的最小连续曲面？

● 地图理论的进展和问题： 如何找到更一般的曲面之间的对应关系？

● 非欧几何与二次微分形式： 如何深入研究黎曼引入的二次微分形式，并将其应用于几何学？

● 将问题相互转化： 如何利用递推过程，将一个问题转化为另一个更简单的问题？

● 线性偏微分方程及其在几何中的作用： 如何利用线性偏微分方程来解决几何问题？

● 辅助系统在几何中的应用： 如何利用辅助系统来研究微分方程组的解？

这些问题，有些至今仍未得到完全解决，显示了达布作为一位数学大师的远见卓识。

十、 达布的精神遗产：一位真正的学者

除了卓越的学术成就，达布还是一位杰出的教育家和管理者。他培养了一大批优秀的数学家，包括埃米尔·博雷尔（Emile Borel）、埃利·嘉当（Elie Cartan）、爱德华·古尔萨（Edouard Goursat）、埃米尔·皮卡（Emile Picard）等。他在担任索邦大学高等几何学教席期间，创立了一个充满活力的几何学派，其影响遍及世界各地。

达布还是一位热心公益的社会活动家。他担任科学之友协会（Society of the Friends of Science）的主席，致力于帮助那些为科学做出贡献但生活困顿的学者。埃米尔·皮卡（Emile Picard）在纪念达布的讲话中，赞扬了他对科学事业的热情和对社会的关怀，称他的心灵与他的智慧一样高尚。

十一、 纪念与缅怀

1912年，为了庆祝达布执教五十周年和担任法兰西科学院终身秘书的银禧纪念，学术界为他举行了盛大的庆祝活动。亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在讲话中高度赞扬了达布的学术成就，称他为“伟大的在世数学家之一”。维托·沃尔泰拉（Vito Volterra）则代表外国数学家，表达了对达布的敬意和钦佩。

加斯顿·达布于 1917 年在巴黎去世，他的一生，是对几何学的热爱与奉献的一生。他不仅是一位杰出的数学家，还是一位卓越的教育家、管理者和社会活动家。他的工作，他的思想，他的精神，将永远激励着后来的数学家们，在几何的王国中继续探索，继续前行，舞动出更加绚丽的曲面之舞。他的名字，如同他所研究的曲面一样，在数学的历史长河中，留下了深刻而优美的印记。

在加斯顿·达布逝世 108 周年之际，谨以此文纪念。

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