变分法：应用欧拉-拉格朗日方程解决最速降线问题和悬链曲面最小面积

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变分法：应用欧拉-拉格朗日方程解决最速降线问题和悬链曲面最小面积

原创  尚大海 尚万只老虎  2025 年 03 月 16 日 20:49 广东

爬过野山的都知道，往往登山的路线就是下大雨时水流的路线（俗称水道）。

最速下降线就是在重力作用下，粒子沿该线无摩擦下滑时所需时间最短的路线。


重物沿无摩擦绳索下滑

最速下降线的词汇来自于希腊文的组合：βρχιστοζ （brachistos, the shortest）+ χρνοζ （chronos, time or delay）。最速下降线问题是变分法最古老的问题之一。

1638 年，伽利略在荷兰莱顿出版《关于两门新学科的对话》，提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短？”他认为这条曲线应该是圆弧，尽管他的答案是错误的，但正如爱因斯坦所说，提出一个问题比解决一个问题更重要！

1696 年，约翰· 伯努利再次为这个最速降线问题公开征求解答。次年，包括牛顿、莱布尼茨、洛必达和伯努利家族两位成员在内的多位数学家得到正确答案。


最速下降线就是摆线

无摩擦的最速下降线问题（frictionless brachistochrone problem）




最速下降线示意图



有摩擦的最速下降线问题（brachistochrone problem with friction）


有摩擦时的最速下降线受力分析



悬链曲面最小面积



肥皂膜的表面能最小问题等价于其表面积最小，此类问题统称为“悬链曲面最小面积问题”，该问题由欧拉于 1744 年解决。


悬链曲面示意图



一个备注




线积分示意图



参考文献

[1] 赵亚溥. 力学讲义[M]. 北京：科学出版社，2018.

[2] （美）沃伯格（Varberg,D.），柏塞尔（Purcell,E. J.），里格登（Rigdon,S. E.）. 微积分[M]. 9 版. 北京：机械工业出版社，2009.

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