已知 \(x^2+\frac{1}{x^2}=3\)，求 \(x^5-\frac{1}{x^5}\) 的值。

天山草

已知  \(x^2+\frac{1}{x^2}=3\)，求 \(x^5-\frac{1}{x^5}\) 的值。

波斯猫猫

已知 x^2+1/x^2=3，求 x^5-1/x^5 的值.
思路：由 x^2+1/x^2=3，显然有x-1/x=±1.
∴  x^5-1/x^5=(x-1/x)(x^4+x^2+1+1/x^2+1/x^4)
=(x-1/x)(x^4+4+1/x^4)
=(x-1/x)[(x^2+1/x^2)^2+2]
=11(x-1/x)=±11.

天山草

此题关键是要知道 \(x^5-\frac{1}{x^5}\) 有一个因式是 \(x-\frac{1}{x}\)，用  \(x-\frac{1}{x}\) 去除  \(x^5-\frac{1}{x^5}\)  得到
\(x^4+\frac{1}{x^4}+x^2+\frac{1}{x^2}+1\)。而由已知  \(x^2+\frac{1}{x^2}=3\)  可推出  \(x - \frac{1}{x}\) 和 \(x^4+\frac{1}{x^4}\) 的值。
具体过程见楼上波斯猫猫的解法。  

波斯猫猫

已知 x^2+1/x^2=3，求 x^5-1/x^5 的值.
思路：由 x^2+1/x^2=3，显然有x-1/x=±1.
∴ （ x-1/x）^5=±1=x-1/x，
x^5-5x^3+10x-10/x+5/x^3-1/x^5=x-1/x，
即x^5-1/x^5=5(x^3-1/x^3)-9(x-1/x)
=5(x-1/x)(x^2+1+1/x^2)-9(x-1/x)
=11(x-1/x)=±11.