已知 \(1>x>0\)，求 \(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}\) 的最小值。

天山草

已知 \(1>x>0\)，求 \(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}\) 的最小值。

波斯猫猫

已知 0＜x＜1，求 2/x^2+1/(1-x^2) 的最小值。
思路：2/x^2+1/(1-x^2)
=2（1-x^2）/x^2+x^2/(1-x^2)+3
≥3+2√2.  (仅当x=√(2-√2)时取等号)

天山草

其余略。上面是抖音上一个老师的方法。

Nicolas2050

柯西不等式秒解

波斯猫猫

已知 0＜x＜1，求 2/x^2+1/(1-x^2) 的最小值。

思路1：2/x^2+1/(1-x^2)
=2（1-x^2）/x^2+x^2/(1-x^2)+3
≥3+2√2.  (仅当x=√(2-√2)时取等号)

思路2：令2/x^2+1/(1-x^2)=y，
则yx^4-(y+1)x^2+2=0，∴ (y+1)^2-8y≥0.
解得，y≥3+2√2.

思路3：2/x^2+1/(1-x^2)
=2/(sinθ)^2+1/(cosθ)^2   (x=sinθ，0＜θ＜π/2)
=2(cosθ)^2/(sinθ)^2+(sinθ)^2/(cosθ)^2+3
≥3+2√2.