欧拉如何利用二项式定理重新定义自然对数的底数 e

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欧拉如何利用二项式定理重新定义自然对数的底数 e

原创  Codeye B 座 17 楼  2025 年 01 月 21 日 11:53 重庆



莱昂哈德·欧拉（1707-1783）在失去右眼视力后：“现在我不用再为之分心了。”

感性如我者，看到此处泪奔！

欧拉似乎总是有按相反顺序做事的倾向。例如经常从后往前读一本书。

一个更有趣的例子是，当我发现了 e 的新公式，发表了它们，然后回到学校学习数学。

我很快意识到，任何正式的数学研究都包含无数对有史以来最多产的数学家莱昂哈德·欧拉的才华的引用。

在深入探究我的发现的过程中，我发现欧拉已经找到了如何将 e 的极限定义



变成一个可以非常精确地近似计算 e 值的无限级数：



作为参考，使用上述无限级数并仅对级数的前 10 项求和，我们就能得到 6 位精确的小数（2.718281）。

相比之下使用 e 的极限定义，我们需要设置 x = 1,640,466 并执行相当于 1,640,455 次乘法才能达到相同的精度。

在这里我们将看到欧拉究竟是如何完成这一看似神奇的转变的！

二项式定理

二项式定理是数学的基石，是组合学、代数、概率和微积分等各种学科的基础。

它的根源可以追溯到公元前 200 年左右的古印度，当时它的形式千变万化，我们称之为“帕斯卡三角形”。

作为参考，以下是三角形的前八行：



图 1 . 帕斯卡三角形的前八行，特征求和方案以蓝色和红色突出显示

如果您已经熟悉二项式定理，请随意跳过。

首先，二项式是一个由两个项通过加法或减法连接的表达式：(a + b) 或 (a - b) 。

二项式定理的作用是提供一种扩展二项式表达式 ( a + b)^n 的幂的方法。

它如下所示：


二项式定理的陈述。

大写希腊字母 ∑ 告诉我们，我们将通过代入从零开始到 n 结束的每个 k 值来将后面的表达式相加。

后面的大括号包含 n 和 k 表示选择函数。

它告诉我们从 n 个对象集合中选择 k 个对象的方法数，其中我们选择它们的顺序无关紧要。计算方法如下：


选择函数

右侧的感叹号表示阶乘函数，它等于 n 与从 ( n - 1) 到 1 的所有数字的乘积：

n ! = n × ( n - 1) × ( n - 2) × ( n - 3) × … × 1 。

例如：

5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 。

现在我们可以准确地看到 ( a + b )^n 的展开式是如何工作的：


( a + b )^n 的二项式展开

示例

为了确切了解其工作原理，我们设 n = 4 、a = 2 和 b = 3 。

然后 (2 + 3)^4 的展开式如下所示：


二项式展开的示例

计算每一项，我们得到：



总结一下，我们发现：

(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625

果然，5^4 = 625

我们会注意到“=”符号右边的数字 1、4、6、4、1 一起构成了帕斯卡三角形的第五行——整个二项式“系数”系列的主列表。

显然，使用这个公式来计算 5 的四次方是一种荒谬的方法，但如果我们有一个更一般的情况呢？

例如，如果 n = 3 、a = x 且 b = 2 ，则我们有一个变量 x 需要展开。

对于 ( x + 2)^3 ，以下是指数 n = 3 的系数：



将这些值代入公式中，我们得到：



扩展为

(x + 2)^3 = 1·x^3·1 + 3·x^2·2 + 3·x·4 + 1·1·8 。

简化一下，我们发现

(x + 2)^3 = x^3 + 6 x^2 + 12 x + 8 。

这个例子很容易手工展开，但对于 n 的高次方，二项式公式是一个非常宝贵的工具，它省去了重复、日益复杂的乘法运算。

转型


图 2 . 摘自欧拉 1748 年的《无穷分析导论》第七章，展示了他对 e 的级数近似

欧拉利用二项式定理，首先扩展了 e 的极限定义：



为了便于转换，我们将使用选择函数的另一种形式。如果我们采用公式 4 并从分子中除掉分母中的所有数字 ( n - k )！，我们将得到以下版本：


选择函数的另一种形式

现在，设 a = 1 且 b = 1/ n ，可得



这里唯一的问题是，与我们的示例不同。我们感兴趣的是当n趋于无穷大时会发生什么。在上面的等式中，我们面临着无限数量的项！

幸运的是，像这样的棘手问题从未阻止过欧拉。经过一些修改，我们可以重新表述上面的等式。

对于每一项，我们要将指数分数 (1/n) 合并到前一个分数的分子中分母中包含阶乘。

这样我们就得到了



现在来看看魔法。当 n → ∞ 时，看看右边每组括号内发生了什么。

分母为 n 的所有分数都趋向于 0，因此括号内的内容趋向于 1 。

这意味着



给出欧拉的结果，



结尾

优雅的变换令人难以置信地满意。

一个绝妙例子显明欧拉不可思议的才能，他一直在寻找连接不同数学对象的看不见的线索。

……如果你恰好是欧拉的粉丝，你是不是心有戚戚也。

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