(x^2+x+1)f(x)=2x^302+x^100+x^61+a，求 a 以及 f(x) 除以 x^2-x+1 和 x^2+x+1 的余式

wintex

請問數學

天山草

(1) \(a=2\);
(2) \(1\);
(3) \(94 x+349\);

以上是用 mathematica 的多项式运算指令做的：


手工如何算？ 不会。

Treenewbee

\[x^3 \equiv x(x^2) \equiv x(-x-1) \equiv -x^2-x \equiv -(-x-1)-x \equiv 1\ mod(x^2+x+1)\]

\[2x^{302}+x^{100}+x^{61} \equiv 2x^2*(x^3)^{100}+x*(x^3)^{33}+x*(x^3)^{20} \equiv 2x^2+2x \equiv 2(x^2+x+1)-2\equiv  2\ \\ mod(x^2+x+1) \]

\[a=2\]

天山草

求得 \(a=2\) 以后，可以用软件算出\(f(x)\) 是下面这个多项式，直接用它计算被 \(x^2+x+1\) 或  \(x^2-x+1\) 除的余式，人工计算是不可能的。

1. 2 x^300-2 x^299+2 x^297-2 x^296+2 x^294-2 x^293+2 x^291-2 x^290+2 x^288-2 x^287+2 x^285-2 x^284+2 x^282-2 x^281+2 x^279-2 x^278+2 x^276-2 x^275+2 x^273-2 x^272+2 x^270-2 x^269+2 x^267-2 x^266+2 x^264-2 x^263+2 x^261-2 x^260+2 x^258-2 x^257+2 x^255-2 x^254+2 x^252-2 x^251+2 x^249-2 x^248+2 x^246-2 x^245+2 x^243-2 x^242+2 x^240-2 x^239+2 x^237-2 x^236+2 x^234-2 x^233+2 x^231-2 x^230+2 x^228-2 x^227+2 x^225-2 x^224+2 x^222-2 x^221+2 x^219-2 x^218+2 x^216-2 x^215+2 x^213-2 x^212+2 x^210-2 x^209+2 x^207-2 x^206+2 x^204-2 x^203+2 x^201-2 x^200+2 x^198-2 x^197+2 x^195-2 x^194+2 x^192-2 x^191+2 x^189-2 x^188+2 x^186-2 x^185+2 x^183-2 x^182+2 x^180-2 x^179+2 x^177-2 x^176+2 x^174-2 x^173+2 x^171-2 x^170+2 x^168-2 x^167+2 x^165-2 x^164+2 x^162-2 x^161+2 x^159-2 x^158+2 x^156-2 x^155+2 x^153-2 x^152+2 x^150-2 x^149+2 x^147-2 x^146+2 x^144-2 x^143+2 x^141-2 x^140+2 x^138-2 x^137+2 x^135-2 x^134+2 x^132-2 x^131+2 x^129-2 x^128+2 x^126-2 x^125+2 x^123-2 x^122+2 x^120-2 x^119+2 x^117-2 x^116+2 x^114-2 x^113+2 x^111-2 x^110+2 x^108-2 x^107+2 x^105-2 x^104+2 x^102-2 x^101+2 x^99-x^98-x^97+2 x^96-x^95-x^94+2 x^93-x^92-x^91+2 x^90-x^89-x^88+2 x^87-x^86-x^85+2 x^84-x^83-x^82+2 x^81-x^80-x^79+2 x^78-x^77-x^76+2 x^75-x^74-x^73+2 x^72-x^71-x^70+2 x^69-x^68-x^67+2 x^66-x^65-x^64+2 x^63-x^62-x^61+2 x^60-2 x^58+2 x^57-2 x^55+2 x^54-2 x^52+2 x^51-2 x^49+2 x^48-2 x^46+2 x^45-2 x^43+2 x^42-2 x^40+2 x^39-2 x^37+2 x^36-2 x^34+2 x^33-2 x^31+2 x^30-2 x^28+2 x^27-2 x^25+2 x^24-2 x^22+2 x^21-2 x^19+2 x^18-2 x^16+2 x^15-2 x^13+2 x^12-2 x^10+2 x^9-2 x^7+2 x^6-2 x^4+2 x^3-2 x+2

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人工计算也很简单