D 是 BC 中点，AD 交 ΔABC 外接圆于 E，CB 交 A 点切线于 P，F∈AE，DF=DE，证 PA=PF

天山草

D是△ABC的BC边中点，延长AD交外接圆于E。延长CB交A点切线于P。
在AE上取一点 F 使 DF=DE。证明 PA=PF

天山草

先用不需要动脑子的复斜率几何方法证明此题：


为什么这种方法不需要动脑子？因为选定了某种构图方法以后，许多点的复数坐标公式事先都已算出，只须引用即可。
另一方面，直线与直线的交点坐标、点关于直线的各种镜像点、圆与直线的交点、直线线段的长度等等，也都有公式库可引用。
因而在多数情况下，用 mathematica 语言编写计算程序不会有多大困难。
程序代码如下：

1. Clear["Global`*"]; (*设B在坐标原点，C在1点， kAB=u^2，kAC=1/v^2 *)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^2 (v^2 - 1))/(u^2 v^2 - 1);
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1);   \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d = 1/2;
   
4. (*\[EmptyUpTriangle]ABC 的外心坐标*)  o = (u^2 v^2)/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 1/(1 - u^2 v^2);
   
5. (*求E点坐标：*)
   
6. W = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (o - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), (a - d)/(
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (a - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
8. e = Part[W, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part[W, 2]; Print["E = ", e];
   
9. (*求F点坐标：*)
   
10. Jx2[p1_, a1_, b1_, m1_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) (b1 + m1 - p1) - \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) (a1 + m1 - p1) + \!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) (a1 - b1))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) -
    
11. \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\));
    
12. \!\(\*OverscriptBox[\(Jx2\), \(_\)]\)[p1_, a1_, b1_, m1_] := ((a1 - b1) (\!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p1\), \(_\)]\)) + \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) (m1 - b1) + \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) (a1 - m1))/(a1 - b1);
    
13. (*上面两行：P1点关于M1点的中心对称镜像点，镜像线是A1B1 *)
    
14. f = Simplify@Jx2[e, b, c, d]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jx2\), \(_\)]\)[e, b, c, d]; Print["F = ", f];
    
15. (*求P点坐标：*)
    
16. W1 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(a - p)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) == -((o - a)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\))), (p - c)/(
    
17. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) == (b - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
18. p = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W1, 2]; Print["P = ", p];
    
19. Print[Simplify[(p - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (p - f) (\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\))]]
    

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ataorj

思路:如图,因为切线,PA^2=PB*PC,所以只要证明PF^2=PB*PC即可,连续逆向也即求证:
三角形PBF∽PFC,
角f=c.
-----------
而BF//CE,BE//CF,角a=b=c,则DFC∽DCA,DC^2=DF*DA,
即DB^2=DF*DA,DB是三点ABF圆I切线.作图,G是CF和圆O交点,H是EB和圆I交点.
则角FBC=FAB=BHF,
只要证明HBF∽BFC,也即证角HBF=BFC即可(证角f=c),而这是显然的,因为BE//CF.证毕.
还需要证明H在PF上

天山草

下面这个证明是 悠闲娱乐数学网站 的 战巡 给出的。



用复斜率几何检验，表明上述证明的各环节都是正确的。

天山草

这道几何题让 豆包、Kimi、DeepSeek、智谱清言 四个不同的智能助手做，全都做不出来，并且证明过程是一塌糊涂。
此题用纯几何方法做并不容易，要作不少辅助线。但是用复斜率几何方法做，不用作辅助线，也不用动多少脑子。

数学小白新

这道题其实是蝴蝶定理的一个扩展应用。下面这个证明不算是很复杂。

天山草

数学小白新 发表于 2025-4-3 22:34
这道题其实是蝴蝶定理的一个扩展应用。下面这个证明不算是很复杂。

6# 楼 数学小白新 的证明比 4# 楼的更加简明。点一个赞！

luyuanhong

楼上 数学小白新 的解答很好！已收藏。