a,b,c∈R，a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1 ，求 a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b)

wintex

Ysu2008

【解】
令等式 \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1\) 为 (1)式；

(1)式两边\(\times a\)并移项得(2)式
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ac}{a+b}=a\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}=a-\frac{ab}{a+c}-\frac{ac}{a+b}\)   ……(2)

(1)式两边\(\times b\)并移项得(3)式
\(\frac{ab}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{bc}{a+b}=b\Rightarrow\frac{b^2}{a+c}=b-\frac{ab}{b+c}-\frac{bc}{a+b}\)  ……(3)

(1)式两边\(\times c\)并移项得(4)式
\(\frac{ac}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=c\Rightarrow\frac{c^2}{a+b}=c-\frac{ac}{b+c}-\frac{bc}{a+c}\)  ……(4)

(2)+(3)+(4) 得
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+c}-\frac{ac}{a+b}+b-\frac{bc}{a+b}-\frac{ab}{b+c}+c-\frac{ac}{b+c}-\frac{bc}{a+c}\)
\(=a-\frac{ab+bc}{a+c}-\frac{ac+bc}{a+b}+b-\frac{ab+ac}{b+c}+c\)
\(=a-b\frac{a+c}{a+c}-c\frac{a+b}{a+b}+b-a\frac{b+c}{b+c}+c\)
\(=a-b-c+b-a+c\)
\(=0\)

天山草

用 mathematica 的解法：

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1 ，
        求 a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b) .

思路(新思维，半代法)：令a+b+c=t .

∵ a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1 ，

∴  a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b)

=a(t-b-c)／(b+c)+b(t-c-a)／(c+a)+c(t-a-b)／(a+b)

=t[a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)]-a-b-c

=t[a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)]-t=0.

简洁明快，事半功倍。

luyuanhong

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波斯猫猫

所谓半代法：故名思意，在同一问题同一量中，为了易于解决问题，

只需部分代换而不是全部，称这样的代换为半代法.

如下题的解法中就有“半代法”的影子.

题：已知整数 x,y,z 满足 x^3+y^3+z^3=x+y+z=3，求 ｜x｜+｜y｜+｜z｜ 的最大值.

思路：根据对称性，不妨设三个整数x≥y≥z，且z为奇数. 由条件有x+y=3-z，

∴  x^2+y^2-xy=(3-z^3)/(3-z)，即xy=-3z+8/(3-z).

∴  z-3=±8，±4，±2，即z=11，-5，7，-1，5，1.

∴  x+y=3-z=-8，且xy=-3z+8/(3-z)=-34.   x+y=3-z=8，且xy=-3z+8/(3-z)=16.
   
    x+y=3-z=-4，且xy=-3z+8/(3-z)=-23.   x+y=3-z=4，且xy=-3z+8/(3-z)=5.
   
   x+y=3-z=-2，且xy=-3z+8/(3-z)=-19.   x+y=3-z=2，且xy=-3z+8/(3-z)=1.

显然，6个方程组只有（2）和（6）有整数解x=y=4，z=-5和x=y=z=1.

∴  max(｜x｜+｜y｜+｜z｜)=13.

波斯猫猫

思路(学无止境)：受半代法思路的影响，还可以更简捷地推出其值.

显然a+b+c≠0  (否则-3=a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1，矛盾 )，

由条件有 (a+b+c)[a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)]=a+b+c，

或 a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b)+a+b+c=a+b+c，

即a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b)=0.