\(\sqrt{\dfrac{\pi e}{2}}=\sum\frac{1}{(2n-1)!!}+[1;1,2,3,...]^{-1}\).

elim

拉马努金提出了以下公式
\(\sqrt{\dfrac{\pi e}{2}}={\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)!!}}+\small{\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{1+\dfrac{3}{1+\cdots}}}}}\)

网上有个视频介绍了据称是华罗庚先生的老师哈代的验证思路．
本人作了一些纠错和简化贴在这里．



我想通过这个帖子引出一些有关数学基础的话题.

elim

无尽小数是实数的十进制值的一般表达形式:
设 \(\small\alpha > 0,\;m_0=\max(0,\lfloor\log_{10} \alpha\rfloor),\)
\(\quad\small a_k=\lfloor 10^k\alpha\rfloor -10\lfloor 10^{k-1}\alpha\rfloor\),
则 \({\small a_{-m_0}\ldots a_0.a_1a_2a_3\ldots =}\scriptsize\displaystyle\sum_{n=-m_0}^\infty\frac{a_n}{10^{n}}\)
\(\scriptsize\displaystyle=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=-m_0}^m\big(\frac{\lfloor 10^n\alpha\rfloor}{10^n}-\frac{\lfloor 10^{n-1}\alpha\rfloor}{10^{n-1}}\big)=\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 10^n\alpha\rfloor}{10^n}\)
\(\scriptsize\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{10^n\alpha-(10^n\alpha-\lfloor 10^n\alpha\rfloor) }{10^n} = \alpha\)

永远

京东拉马努金共9本笔记本为什么老久没货了