已知整数 x,y,z 满足 x^3+y^3+z^3=x+y+z=1 ，求 ｜x｜+｜y｜+｜z｜ 的最大值

wintex

請問數學 103 基隆 國

天山草

答案为 \(D\)，即\( |x|+|y|+|z|\) 的最大值为 \(13\)。这是因为，由于\( x，y，z\) 在方程组中的对称性，可设 \(x≥y≥z\)，此时满足方程的整数解只有两组，一组是 \(x=y=z=1\)，另一组是 \(x=y=4，z=-5\)。
\(x，y，z\) 取第二组值时  \(|x|+|y|+|z|\) 的值为 \(13\)，这也就是它的最大值。

波斯猫猫

题：已知整数 x,y,z 满足 x^3+y^3+z^3=x+y+z=3，求 ｜x｜+｜y｜+｜z｜ 的最大值.

思路：根据对称性，不妨设三个整数x≥y≥z，且z为奇数. 由条件有x+y=3-z，

∴  x^2+y^2-xy=(3-z^3)/(3-z)，即xy=-3z+8/(3-z).

∴  z-3=±8，±4，±2，即z=11，-5，7，-1，5，1.

∴  x+y=3-z=-8，且xy=-3z+8/(3-z)=-34.   x+y=3-z=8，且xy=-3z+8/(3-z)=16.
   
    x+y=3-z=-4，且xy=-3z+8/(3-z)=-23.   x+y=3-z=4，且xy=-3z+8/(3-z)=5.
   
   x+y=3-z=-2，且xy=-3z+8/(3-z)=-19.   x+y=3-z=2，且xy=-3z+8/(3-z)=1.

显然，6个方程组只有（2）和（6）有整数解x=y=4，z=-5和x=y=z=1.

∴  max(｜x｜+｜y｜+｜z｜)=13.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。