教科书在证明√2不是有理数过程中犯了5个错误（单页简明版）

yangls728

教科书在证明√2不是有理数过程中犯了5个错误（单页简明版）
杨六省（yangls728@163.com）
①√2=p/q（p，q 互质）能作为√2不是有理数的反论题吗？
不能。人教版（七下第58页）和北师大版（八上第24页）都把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题，就是把有理数与无理数之间的矛盾（指√2=p/q中的p和q能否都是整数）变成了有理数系统内的矛盾（指√2= p/q中的两个整数p与q能否互质），这是方向性错误，如同用境内法代替入境法，注定失败！事实胜于雄辩：下文中的③、④、⑤均表明教科书证明中的逻辑链条是断裂的，因而论证是无效的。简言之，√2=p/q（p，q 互质）（即√2是最简分数）只是一个无意义无真假的语句而非命题，当然不能做反论题。
②由√2=p/q（p，q 都是整数）能推出√2=p/q（p，q 互质）吗？
不能。否则，以同样的理由也可以由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q 不互质）。但是，由√2=p/q（p，q 都是整数）推出相互矛盾的结论是荒谬的。归根结底，教科书不该对反论题√2=p/q（p，q 都是整数）的右端套用“分数总可以写成最简分数的形式”，因为它徒有分数之名（注：关于由反论题√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q 互质），为了帮助理解，我们还可以举一个道理相同但更贴近生活常识的例子：某人H从未打过父亲。反论题应该是H打过父亲。但是，由反论题“H打过父亲”是推不出“H已经停止打父亲”或“H尚未停止打父亲”的，因为推理的前提条件并不真实存在）。教科书中的做法，就是把反论题“√2是分数”中的“分数”变成了它的一个下位概念“最简分数”，这是偷换概念。需要说明的是，我们务必把应用反论题参与推理和对反论题本身的推理区分开来。前者不会使反论题发生改变，但后者则不然，因而后者是不合理的推理。很明显，本文中的①与②是一致的。
③由p2是偶数能推出p也是偶数吗？
不能。理由是，教科书在证明中首先应用了q是整数这个假设，否则就无法得出p2是偶数之结论。接下来我们看到的便是“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的q是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设q是整数，则p是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。
有人反驳说：为了否定假设，反证法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾。那么，应用“p是整数”这个假设由p2是偶数推出p是偶数,这难道不合理吗？笔者认为，这种说法将陷于自相矛盾。理由是，当推出了p是偶数的结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p是整数”这个假设。但是，教科书并没有否定“p是整数”这个假设。反驳者以为动机可用来进行反驳，殊不知动机已被实际结果所否定，故反驳无效。
④前面推出了p是偶数，后面还能推出q也是偶数吗？
不能。因为这与此前已确定了的“p，q互质”矛盾。
⑤由“p和q都是偶数”与“假设p与q互质”相矛盾能推出√2不是有理数吗？
不能。上述矛盾只能说明“p与q互质”的假设不成立，等价的说法是“p与q非互质”成立。但后者蕴涵“p和q都是整数”，所以，由上述矛盾不能推出√2不是有理数。
说明：笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他证明，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
阅读此文的朋友，如果你能够认可上述5条意见中的哪怕一条（5条意见均表明论证的逻辑链条已经断裂），你都可以对教科书关于√2不是有理数的证明说不！当然，④最简单。

elim

楼主对论证，数理逻辑这些认识都是罕见荒谬的．几十年来不被大多数人认同，太无聊．