已知对任何 x ，都有 f(f(x))=x^2-x+1 ，求 f(0)

波斯猫猫

已知 f(f(x))=x^2-x+1，求 f(0) .

Future_maths

计算结果：f(0)=1

cgl_74

从必要性上看，如果存在一个映射fx满足条件，并且存在f0，那么f0必定为1.

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

波斯猫猫

题：已知 f(f(x))=x^2-x+1，求 f(0) .

思路：显然f(f(0))=f(f(1))=1，

∴  f[f(f(1))]=[f(1)]^2-f(1)+1=f(1)，

    f[f(f(0))]=[f(0)]^2-f(0)+1= f(1).

即f(1)=1，[f(0)]^2-f(0)=0.

∴  f(0)=1，或f(0)=0.

若f(0)=0，则1=f(f(0))=f(0)=0，矛盾.

∴  f(0)=1.

cgl_74

这个题目可以扩展下：求f0是简单的。可以扩展为求fx，哪怕是一个特殊解也行，通解更好。
其实从题目严谨性上看，满足条件的fx是否存在，也是个问题，需要论证。

cgl_74

这个题目，如果x可以扩展到复数域的话，我能证明题目是错的。不存在这样的fx。

cgl_74

在B站上有类似的题目。一个UP主叫castelu的，也提到这个题目是不严谨的。虽然他也没给出完整的解答，但是知之为知之，不知为不知，指出问题也是可以的。
建议大家也多去B站，小红书看看，哪怕是提问题也行，讨论也行。有些人的水平还是比较高的。至少眼界会高一些！

本论坛呢，感觉就是解法问题讨论得少，不知道是水平受限呢，还是根本没有这个讨论的氛围。包括坛主陆老师，自己都给了一些不严谨的解法，也收藏了不少不严谨的解法。当然解法也很可能是其它学生代写的，但毕竟未免有点敷衍。