半代法的应用两例

波斯猫猫

新思维，新方法，半代法.

所谓半代法：故名思意，在同一问题同一量中，为了易于解决问题，

只需部分代换而不是全部，称这样的代换为半代法 (有多种变式).

利用它能简洁明快，事半功倍的解决问题，妙趣横生.

例1：已知a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1 ，
        
       求 a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b) .

思路：令a+b+c=t .   （巧设）

∵ a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1 ，  （拿出已知条件）

∴  a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b)    （所求目标）

=a(t-b-c)／(b+c)+b(t-c-a)／(c+a)+c(t-a-b)／(a+b)   （三量三处半代）

=t[a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)]-a-b-c    （势如破竹，一杆到底）

=t[a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)]-t =t-t=0  (最后用条件, 一气呵成, 妙)

例2：已知整数 x,y,z 满足 x^3+y^3+z^3=x+y+z=3，
      
        求 ｜x｜+｜y｜+｜z｜ 的最大值.

思路：根据对称性，不妨设三个整数x≥y≥z，且z为奇数.

由条件有x+y=3-z，   (半代式，中途可消去部分x和y)

∴  x^2+y^2-xy=(3-z^3)/(3-z)，即xy=-3z+8/(3-z).    (半代结果)

∴  z-3=±8，±4，±2，即z=11，-5，7，-1，5，1.

∴  x+y=3-z=-8，且xy=-3z+8/(3-z)=-34.   x+y=3-z=8，且xy=-3z+8/(3-z)=16.
   
    x+y=3-z=-4，且xy=-3z+8/(3-z)=-23.   x+y=3-z=4，且xy=-3z+8/(3-z)=5.
   
    x+y=3-z=-2，且xy=-3z+8/(3-z)=-19.   x+y=3-z=2，且xy=-3z+8/(3-z)=1.

显然，6个方程组只有（2）和（6）有整数解x=y=4，z=-5和x=y=z=1.

∴  max(｜x｜+｜y｜+｜z｜)=13.

（钟情数学  致力创新  学无止境）

波斯猫猫

所谓半代法，故名思意，为了易于解决问题，在同一问题同一量中，

只需部分代换而不是全部，称这样的代换方法为半代法 (有多种变式).

                偶感
求值求解卡卡卡   不妨试试半代法
丝滑减压增自信   边刷题来边喝茶

波斯猫猫

例1：已知a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1，

求 a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b) .

思路(学无止境)：受半代法思路的影响，还可以更简捷地推出其值.

显然a+b+c≠0  (否则-3=a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)=1，矛盾 )，

由条件有 (a+b+c)[a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)]=a+b+c，

或 a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b)+a+b+c=a+b+c，

即a^2／(b+c)+b^2／(c+a)+c^2／(a+b)=0.