已知对任意 x∈R 有 f(2x)=2f(x)e^x ，求函数 f(x) 的解析式

cgl_74

Nicolas2050

f（2x）=f（x）e^x=[f（x/2）e^(x/2) ]e^x=[f（x/2^2）e^(x/2^2)e^(x/2) ]e^x=……=[f（x/2^n）]e^x(1/2^n+1/2^(n-1)+……+1/2+1)
=[f（x/2^n）]e^x(2-1/2^n)
令n趋近于无穷大，由连续性知f（2x）=f（0）e^（2x）即f（x）=f（0）e^（x）

Future_maths

首先：f(0)=0

Future_maths

没有f(x)连续的条件，所以楼上的解答有问题。

luyuanhong

cgl_74

5楼陆老师的解法，找到一种类型的解。
那么其它的解是啥呢？通解是是啥样子的呢？

ataorj

f(1)=任意一个实数t时，都成立,所以：
f(x)=xte^(x-1)

天山草

ataorj 发表于 2025-4-20 08:34
f(1)=任意一个实数t时，都成立,所以：
f(x)=xte^(x-1)

根据陆教授推导的结果，我同意楼上的看法，验证如下：



不知道是不是还有别的形式的函数？

cgl_74

一种形式的解为fx = c*x*e^x；c为任意常数。这个形式就是5楼的解。
其实从5楼的解法可知，属于试探性解法，适合找到一组特解。解法本身与题目条件不是等价变换关系，丢失很多信息。

可以用构造方法得到fx的一个表达；fx可以为连续函数，非连续函数，或很奇怪的一个函数。

ataorj

可认为题目条件不足，本身就是个不定方程。不需要一定有个f(1)的“复杂”合规终结的表达式，f(x)表达“终结”式能求f(1)就行了。