多元高次多项式的项数

yangchuanju · 发表于 2025-4-20 20:12

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-4-20 20:14 编辑

多元高次多项式的项数
太阳先生喜欢用多元高产多项式表示他要找寻的素数公式，
请问m元n次多项式究竟有多少项呢？

1元1次多项式共2项
a 1
1元2次多项式共3项，在1次的2项基础上加1项：
a2
1元3次多项式共4项，在2次的3项基础上加1项：
a3
1元4次多项式共5项，在3次的4项基础上加1项：
a4
1元5次多项式共6项，在4次的5项基础上加1项：
a5
【附注】项数中的1表示常数项；a2,a3,a4,a5……分别表示a的2次，3次，4次……项，下同。

yangchuanju · 发表于 2025-4-20 20:13

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-4-20 20:14 编辑

2元1次多项式共3项
a b 1
2元2次多项式共6项，在1次的3项基础上加3项：
a2 b2
2元3次多项式共10项，在2次的6项基础上加4项：
a3 b3
a2b ab2
2元4次多项式共15项，在3次的10项基础上加5项：
a4 b4
a3b ab3
a2b2
2元4次多项式共21项，在3次的10项基础上加6项：
a5 b5
a4b ab4
a3b2 a2b3

yangchuanju · 发表于 2025-4-20 20:14

3元1次多项式共4项
a b c 1
3元2次多项式共10项，在1次的4项基础上加6项：
a2 b2 c2
ab ac bc
3元3次多项式共20项，在2次的10项基础上加10项：
a3 b3 c3
a2b ab2 a2c
ac2 b2c bc2
3元4次多项式共35项，在3次的20项基础上加15项：
a4 b4 c4
a3b ab3 a3c
ac3 b3c bc3
a2bc ab2c abc2
a2b2 a2c2 b2c2
3元5次多项式共56项，在4次的35项基础上加21项：
a5 b5 c5
a4b a4c ab4
ac4 b4c bc4
a3bc ab3c abc3
a3b2 a2b3 a3c2
a2c3 b3c2 b2c3
a2b2c a2bc2 ab2c2

yangchuanju · 发表于 2025-4-20 20:15

m元n次多项式的项数表
m元\n次 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1 3 6 10 15 21 28 36 45
3 1 4 10 20 35 56 84 120 165
4 1 5 15 35 70 126 210 330 495
5 1 6 21 56 126 252 462 792 1287
6 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003
7 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435
8 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870
9 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310
10 1 11 66 286 1001 3003 8008 19448 43758

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