利特尔伍德：数学坏小子

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利特尔伍德：数学坏小子

通过剑桥大学考试系统设置的层层关卡，从众多数学系本科生中脱颖而出，这仅仅是利特尔伍德辉煌生涯的开始。

后来，他进入三一学院，和哈代合作，完成了上百篇论文，两人也都在在黎曼假设这座“数学珠峰”的攀登路上留下了足迹。

和谐的合作关系背后却是两个完全相反性格的数学家，一位是优雅的数学美男子，一位是粗糙的数学坏小子，前者必然是哈代，后者就是今天文章的主人公——利特尔伍德。

来源 | 《悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设》

作者 | [英] 马库斯·杜·索托伊

译者 | 柏华元

01  美男子与坏小子

1910 年，三一学院来了一位名叫约翰·艾登瑟·利特尔伍德的数学家，他比哈代小 8 岁。在接下来的 37 年时间里，他们就像数学界的斯科特和奥茨那样，共同探索那片在欧洲大陆上开辟出的新大陆。

在他们的合作下，有 100 多篇论文问世。玻尔常常打趣道，这个时期有三位伟大的数学家：哈代、利特尔伍德，还有哈代-利特尔伍德。

在合作过程中，两位数学家的性格特点都展露无遗。

利特尔伍德性格火爆，面对问题，他喜欢火力全开、多面出击。他陶醉在对难题征服的满足感之中。

哈代则相反，他追求美感，崇尚优雅。

这些都毫无例外地体现在他们各自的论文写作中。拿到利特尔伍德的草稿后，哈代会对其进行润色，使其行文更优美。在他们的证明过程中，这种痕迹随处可见。


左：哈代； 右：利特尔伍德  图源：https://www.163.com/dy/article/FH1TC7P605327Q0N.html

有意思的是，这两个数学家的工作风格也体现在各自的外貌上。哈代是个美男子，和同龄人相比，属于青春永驻那一类型。早年在三一学院做研究员时，哈代在高级公共休息室里经常被当成在三一学院走廊里迷路的大学生。就像一个数学家评价的那样，利特尔伍德却生得一副粗糙面孔，类似于狄更斯笔下的人物。他身强体壮，身手敏捷，头脑灵活。和哈代一样，他也热爱板球运动，是个强劲的击球手。除此之外，他还热爱音乐，而哈代却对此不感兴趣。成年后，他自学了钢琴，对巴赫、贝多芬和莫扎特的音乐情有独钟。他认为生命苦短，不应该把时间浪费在小众音乐上。

哈代和利特尔伍德志趣相投，相谈甚欢。他们之间的合作基于以下几条一目了然的公理。

公理 1 ：给对方写的东西是否正确无关紧要。

公理 2 ：没有义务去回复甚至去读对方来信。

公理 3 ：尽量不考虑同一件事。最重要的公理是下面这条。

公理 4 ：为了避免任何争吵，所有的文章都由二人共同署名，无论其中一人对文章是否有所贡献。

玻尔这样总结两人的关系：“在这一明显消极的公理系统之下，从来没人能像他们那样建立起这种如此重要而和谐的合作关系。”

02  “炮火”洗礼数学界

时至今日，数学家合作时依然会谈及“哈代-利特尔伍德规则”。玻尔发现，当他们在哥本哈根合作时，哈代依然遵守着第二规则。他记得这样一幅场景：利特尔伍德每天都会寄来一封长篇的数学书信，而哈代收到后则不动声色地将它们扔到房间的角落里，并略带调侃地说：“我想，有一天我还是会读一下的。”哈代在哥本哈根时，满脑子想的只有一件事，那就是黎曼假设。除非利特尔伍德寄来的是黎曼假设的证明过程，否则这些信件将难以逃脱被丢弃的命运。

利特尔伍德的学生哈罗德·达文波特讲过这样一个故事：哈代和利特尔伍德差点因黎曼假设而分道扬镳。哈代写过一个谋杀谜案，在该案中，一位证明了黎曼假设的数学家，被另一个数学家谋杀了，后者窃取了前者的劳动成果，宣称自己证明出了黎曼假设。为此，利特尔伍德大为不悦，不是因为哈代违反了公理 4 ，没有将他列为共同作者，而是他觉得哈代是在借这个凶手影射自己。这篇文章一问世，利特尔伍德就十分排斥。哈代让步了，数学史上就这样失去了一件文学瑰宝。

利特尔伍德通过了剑桥大学考试系统设置的层层关卡，从众多数学系本科生中脱颖而出。他名列前茅，和另一位学生默瑟共同摘得数学学位考试头名这一桂冠。这种荣誉的获得者在剑桥大学可是名人，其照片会在学年结束时出售。或许他的同学已经猜到了，这仅仅是利特尔伍德辉煌生涯的开始。当一个朋友想要购买他的一张照片时被告知：“恐怕利特尔伍德先生的照片会被抢光，而默瑟先生的会剩下好多。”

利特尔伍德明白，考试并非学习或研究数学的真正意义所在，只是一场需要他参与并获胜的技术游戏。只有这样，他才能顺利通关进入下一个环节。“这种游戏对我来说太简单了，在成功掌握某项技能后，我甚至感到了一丝满足感。” 利特尔伍德迫不及待地想要以一种极具创新的方式，将他在本科阶段习得的技能付诸实践。他创立了严谨数学研究，这对当时的数学界来说，无异于一次“炮火的洗礼”。

刚从考试中解脱出来的利特尔伍德迎来了一个暑期长假。他没有停下来休息片刻，就马不停蹄地投身到新研究当中。他向自己的导师欧内斯特·巴恩斯请教，有没有什么适合他研究的问题。巴恩斯后来成为了伯明翰的主教。他思索片刻，想起了一个还没有人认真研究过的有趣函数。或许，利特尔伍德能发现这个函数生成零点的秘密。

巴恩斯在纸上给利特尔伍德写下了这个函数的定义，让他带回去打发漫长的暑假时光。“它被称作 ζ 函数。”巴恩斯漫不经心地说道。利特尔伍德带着那张纸条离开了巴恩斯的房间，丝毫没察觉到巴恩斯刚才在暗示他可以利用暑假时间来证明黎曼假设。

巴恩斯没有向利特尔伍德介绍这一问题的历史背景，那样会让他看到这个问题的困难程度。利特尔伍德的导师甚至还不了解零点和素数的关系，只是单纯地认为这会是一个有趣的问题：这一函数生成的零点分布在何处。

彼得·萨纳克是当代尝试证明黎曼假设的领军人物之一，他这样说道：“进入 20 世纪后，这是唯一一个让数学家们大伤脑筋的分析函数了。”

利特尔伍德的学生彼得·斯温纳顿-戴尔爵士在利特尔伍德后来的纪念仪式上说：“巴恩斯认为黎曼假设适合最优秀的学生去研究，而利特尔伍德无疑是最佳人选。”这反映了当时的英国数学界处于一种停滞不前的状态。直到哈代和利特尔伍德此后大有作为后，才扭转了这一局面。

03  踏上黎曼假设研究之路

整个暑假，利特尔伍德都在全力攻克巴恩斯抛给他的这个看似平淡无奇的问题。他没能发现零点的位置，但是偶然间发现的其他东西令他欣喜不已。就像 50 年前黎曼发现的那样，利特尔伍德意识到这些零点与素数有关。尽管自黎曼时期后，ζ 函数和素数的关系在欧洲大陆已经是众所周知的事情了，但是这对于当时的英国来说还是新鲜事物。

这一新发现令利特尔伍德兴奋不已。1907 年 9 月，他将这一发现发表在一篇论文里，来申请三一学院的研究员职位。利特尔伍德认为，他的这一发现是前无古人的，这进一步表明当时的英国数学界有多闭塞。

哈代是英国为数不多的了解阿达马和德·拉·瓦莱-普桑研究进展的人之一。因此他明白，利特尔伍德并不是该领域的第一人。不过，哈代看到了利特尔伍德身上的潜力。尽管利特尔伍德黯然落选三一学院那一年的研究员之位，但是有位绅士向他抛来了橄榄枝，同意下次选他。1910 年 10 月，利特尔伍德加入了哈代在三一学院的阵营。

剑桥大学开始蓬勃发展起来，因为它开创了先河，向英吉利海峡对岸的传统知识分子敞开了大门。英国和欧洲大陆的往来变得更加便利，哈代和其他学者不遗余力地访问欧洲众多的学术中心。他们与外界的接触交流，促使英国涌现了一批新书刊和新思想。

在 20 世纪早期，三一学院的学术交流活动尤为活跃。高级公共休息室不再是一个绅士俱乐部，而是一处研究圣地。人们在高台餐桌上高谈阔论，不再仅仅围绕着波特酒和红葡萄酒这个话题，而是尽情交流着那个时期涌现出的新思想。

在三一学院，同哈代和利特尔伍德共事的是英国最杰出的两位哲学家：伯特兰·罗素和路德维希·维特根斯坦。他们都致力于解决那些困扰着希尔伯特的基本数学问题。剑桥大学也津津乐道于物理学上取得的新突破，例如，约瑟夫·约翰·汤姆森爵士因发现电子而荣获诺贝尔奖；还有阿瑟·爱丁顿，他用实验证明了高斯和爱因斯坦提出的观点，即空间的弯曲以及非欧几何。

哈代和利特尔伍德最伟大的合作，还得从兰道在哥廷根大学完成的一本素数名著说起。1909 年，兰道出版了Handbook of the Theory of the Distribution of Prime Numbers 一书，它由两卷构成，将素数和黎曼 ζ  函数的关系之谜呈现于世人面前。

在兰道出版这本书之前，黎曼和素数的故事在数学圈里还不是那么广为人知。哈代和汉斯·海尔布伦在兰道的讣告中这样写道：“此书将这门学科，由原来仅有几个孤胆英雄角逐的狩猎场，变成现在这片 30 年来最肥沃的农田。”

正是兰道的这本著作，在 1914 年激励着哈代去证明有无穷多个零点分布在黎曼的那条临界线上。利特尔伍德还是学生时就苦心钻研过 ζ 函数，而这本著作再次点燃了他胸中的那股研究热情。因此，他也毅然踏上那条探索之路，在素数历史上留下浓墨重彩的一笔。

图灵新知  2025 年 04 月 16 日 18:58  北京