证明：在有限维欧氏空间中，一凸集的开、闭或有界，在线性结构下和拓扑意义下是等价的

wilsony

谁能证明？

Future_maths

1, 在有限维欧氏空间中，开球是拓扑空间中的开集。因此，如果一个集合 S 在线性结构下是开的，那么对于 S 中的任意点 x，存在一个开球 B(x,\(\varepsilon\))) 完全包含在 S 中，这表明 S 是拓扑意义下的开集。
反之，如果一个集合 S 在拓扑意义下是开的，那么对于 S 中的任意点 x，存在一个开集 U 使得 x\(\epsilon\)U\(\subseteq\)S。由于有限维欧氏空间的拓扑是由开球生成的，因此存在一个开球 B(x,\(\varepsilon\)) 使得 x\(\epsilon\)B(x,\(\varepsilon\))\(\subseteq\)U\(\subseteq\)S。这表明 S 在线性结构下是开的。

Future_maths

2, 对于闭集的情况，考虑闭集的补集是开集，然后利用1的证明可以得到闭集的证明。

Future_maths

3，在有限维欧氏空间中，一个集合 S 在线性结构下是有界的，当且仅当它包含在某个闭球中。由于闭球是紧集，因此 S 也是紧集。根据紧集的性质，S 有有限子覆盖，因此 S 在拓扑意义下是有界的。
反之，如果一个集合 S 在拓扑意义下是有界的，那么它有有限子覆盖。由于有限维欧氏空间中的紧集是闭球，因此 S 可以被包含在某个闭球中，从而 S 在线性结构下是有界的。

wilsony

谢谢Future_maths。