已知实数 x,y,p,q 满足 2x^2+3p^2=2y^2+3q^2=(xq-yp)^2=6 ，求 (x^2+y^2)(p^2+q^2)

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請問數學

天山草

解法一：

波斯猫猫

已知实数 x,y,p,q 满足 2x^2+3p^2=2y^2+3q^2=(xq-yp)^2=6，求 (x^2+y^2)(p^2+q^2).

思路：令x=√3cosα，y=√3cosθ，则p=√2sinα，q=√2sinθ.

将其代入(xq-yp)^2=6，得[√6(sinθcosα-cosθsinα)]^2=6,

即[sin(θ-α)]^2=1，或cos(θ-α)=0,或θ=kπ+π/2+α，k∈Z.

∴  (x^2+y^2)(p^2+q^2)=6[(cosα)^2+(cosθ)^2][(sinα)^2+(sinθ)^2]

=6[(cosα)^2+(sinα)^2][(sinα)^2+(cosα)^2]=6.