已知平面上两定点 A(-1,2)，B(1,4)，在 x 轴上求一动点 P ，使得 ∠APB 达到最大

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Ysu2008

【解】

(1) 如上图，与A、B两个定点的连线夹角为定值的点的轨迹是圆（等弧对等角），设圆半径为 r，圆与X轴的一个交点为 P ；
(2) 弦AB的中垂线必经过圆心（弦的垂直平分线定理），设圆心为O ；
(3) 圆心O在AB中垂线上滑动时，半径 r 越小，圆周角 \(\angle APB\) 越大（证明略）；


(4) 如上图，当半径 r 小到圆与X轴恰好相切时，圆周角 \(\angle APB\) 取得题目所求的最大值；

AB的中垂线方程为 \(y=-x+3\)，所以圆心 O的坐标为 \(\left( x{,}-x+3\right)\)
半径 \(r=\left| OB\right|=\sqrt{\left( x-1\right)^2+\left( -x+3-4\right)^2}=\sqrt{2x^2+2}\)
圆心O到X轴的距离为 \(-x+3\)

(5) 圆与X轴相切，即圆心O到X轴的距离等于半径r，从而得到圆心 O 坐标
\(\sqrt{2x^2+2}=-x+3\Rightarrow O\begin{cases}
x=1\\
y=2
\end{cases}\)

(6) 圆与X轴相切时，切点 P 的横坐标等于圆心 O 的横坐标，\(\angle APB\) 取得最大值时 P点坐标为 \(\left( 1{,}0\right)\) .

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知平面上两定点 A(-1,2)，B(1,4)，在 x 轴上求一动点 P ，使得 ∠APB 达到最大.

思路：设P(a，0)，则PA=√[(a+1)^2+4]，PB=√[(a-1)^2+16]. 记∠APB=θ，

在△ABP中，由余弦定理有 cosθ=(a^2+7)/(PA.PB) (θ为锐角)，则sinθ=2∣a+3∣/(PA.PB).

∴ tanθ=2∣a+3∣/(a^2+7)，即 tanθ.∣a∣^2-2∣a∣+7 tanθ-6≤0.

由判别式1- tanθ(7 tanθ-6)≥0. 解得-1/7≤tanθ≤1. 即当θ达到最大45°时，有a=1，

∴ P(a，0)=P(1，0) .

注：此思路避免了繁琐的求导及后继繁琐的计算.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。