\(\huge^\star\color{navy}{\textbf{ 用实数域公理证明 }}\color{red}{0.\dot 01=0}\)

elim

实数域是以\(\mathbb{Q}\)为子域的具有最小上界性的阿基米德有序域. 实数域的这个定义通常用多组公理来刻划：
序公理，域公理，域运算的保序公理，阿基米德可度量性公理，上有界集合的最小上界存在性公理.
使得所有这些公理成立的含有序子域\(\mathbb{Q}\)的数域叫作实数域. 记作\(\mathbb{R}\). \(\mathbb{R}\)的存在性, 唯一性问题被归结为对\(\mathbb{Q}\)作完备扩张的问题。需要较深的数学基础知识储备, 就不赘述了. 这里介绍阿基米德可度量性公理：\(\forall x\in\mathbb{R}\,((x>0)\implies (\exists n\in\mathbb{N}:\,(nx > 1)))\)
现在我们要用这条公理证明 \(\frac{1}{\large 10^\infty} = 0.\): 假定 \(\frac{1}{\large 10^\infty} > 0\) 则据阿基米德可度量性公理，存在正整数\(n\) 使得 \(n\frac{1}{\large 10^\infty}>1\) 于是 \(\frac{1}{\large 10^\infty}>\frac{1}{\large n}>\frac{1}{\large 10^n}\) 这与 \((n< \infty)\implies(\frac{1}{\large 10^n}>\frac{1}{\large 10^\infty})\) 矛盾！

APB 用海量驴滚贴来啼 \(0.\dot 01> 0\) 的猿声. 但是无一贴被有根有据的论证所支持. 呜呼, 只能说朴素的混混感情终究不成气候.

【评注】阿基米德可度量性公理\((^a)\)的释义: 任取 \(\lambda>0\)，及精度 \(\varepsilon>0\). 根据 \((^a)\), 存在正整数 \(m\) 使得 \(m\varepsilon > 1\). 记 \(D=10^{-m}\) 则 \(0< D< \varepsilon,\;\frac{D}{\large\lambda}>0\). 再据 \((^a)\), 有最小\(k\in\mathbb{N}\) 使得 \((k+1)\frac{D}{\large\lambda}>1\ge k\frac{D}{\large\lambda}\) 即 \(k10^{-m}\le\lambda<(k+1)10^{-m}\). 用大白话说，\(\lambda\)是\(m\)-级度量单位的\(k\)倍, 误差小于 \(\varepsilon\).
在实数域中，任何正数都是可被任意精度地度量的！