\(\Huge\color{red}{^\star\textbf{ 极限定义注定 }\lim n\not\in\mathbb{N}}\)

elim

Weierstrass 极限定义: \(\small\{a_n\}\)的极限是一个由
该数列决定的, 具有下列性质的常数\(a\):  任给
正数 \(\varepsilon\), 总存在相应的正整数 \(N_\varepsilon\),  使\(\small\{a_n\}\)除
前\(\small N_\varepsilon\)项外与\(a\)的误差皆小于\(\varepsilon:\)对一切\(\small n>N_\varepsilon\)
有\(\small|a_n-a|< \varepsilon.\) 若所论 \(a\)存在, 则称\(\small\{a_n\}\)收敛,
记作\(\displaystyle\underset{\;}{\lim_{n\to\infty}}a_n=a.\)  否则称\(\{a_n\}\)发散.
假设 \(\lim n\in\mathbb{N},\) 则 \(\lim n=m\)对某 \(m\in\mathbb{N}\)\(\\\)
成立. 据极限的Weierstrass定义, 对\(\varepsilon=1\) 有
某\(\small N_1>0\)使\(n>N_1\)时总有\((^*)\;|n-m|< 1.\)
取 \(n\small=N_1+1+m,\) 则 \(n>N_1\) 并且显然有
\(|n-m|=N_1+1>1\).  与\((^*)\)矛盾！故 \(m\)
不是\(\{n\}\)的极限, 皮亚诺公理第2条(\(\mathbb{N}\)离散)
成为论证 \(\boxed{\lim n\not\in\mathbb{N}}\) 的关键．

【注记】春霞一切有关\(\lim n\in\mathbb{N}\)的’证明’均
\(\qquad\)与极限定义矛盾, 从根本上就是荒谬的．