△ABC各边长是 4,5,6。如何作一个内接正三角形? 何时正三角形边长最短？何时最长？

天山草

三角形 ABC 的各边长是 AB=5，BC=4，CA=6。如何作一个内接正三角形 DEF ？
什么时候正三角形边长最短？什么时候最长？

ataorj

如图取两点a、b,做正三角形abx,Bx交AC于y.
a、b、x、y还表示到参照点B的距离.a、b间距为z.
a、b都缩放y/x倍得到E、D
求zy/x的极值

ataorj

看追踪图
a在C，
b在B时DE有最大值
b在A时DE有最小值

天山草

内 接 正 三 角 形 的 最 大 边 长 求 法：

天山草

内 接 正 三 角 形 的 最 小 边 长 如 下 图。当 \(BE≈1.698 时\)，正 三 角 形 边 长 取 到 最 小 值 \(2.324545\)

以 上 是 数 值 计 算 的 结 果，最 小 边 长 的 理 论 值 还 没 有 找 到。

ataorj

更正，
直观看追踪图
a在C，
b在B时DE有最大值
我记得b在接近A处大约AB/7处，DE有最小值。这一段比较水平，不好判断，幸好有数据，这时线段【ab】最大，但是x>y,DE是缩小中的。
这个题我不想具体去做。应该建立方程，比如B到AC的垂足为坐标原点，也许后来有个二次方程，用判别式也许能确定极值情况。
注意，取两点a、b,下旋60度得到点x，它“总在下方”包括在AC下边

天山草

下表中 λ 即 BE 的长度。θ=∠FEC。DE 即内接正三角形的边长。

期待给出正三角形最小边长的理论表达式。

Ysu2008

【解】
(0) 以 B 为坐标原点，BC为 X 轴建立平面直角坐标系，则有
\(\cos\angle ABC=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\times4\times5}=\frac{1}{8}\)
\(\sin\angle ABC=\sin\left( \arccos\left( \frac{1}{8}\right)\right)=\frac{3\sqrt{7}}{8}\)
A 点坐标为 \(\left( \frac{5}{8}\ {,}\ \frac{15\sqrt{7}}{8}\right)\) , C点坐标为 \(\left( 4\ {,}\ 0\right)\)
直线AC方程为 \(y=-\frac{5\sqrt{7}}{9}x+\frac{20\sqrt{7}}{9}\)

(1) 设向量 \(\overrightarrow{BE}=a\) , 向量 \(\overrightarrow{BD}=b\left( \cos\angle ABC+i\sin\angle ABC\right)=b\left( \frac{1}{8}+i\frac{3\sqrt{7}}{8}\right)\)

(2) \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BD}=a-b\left( \frac{1}{8}+i\frac{3\sqrt{7}}{8}\right)=a-\frac{b}{8}-i\frac{3\sqrt{7}b}{8}\)

(3) 将\(\overrightarrow{DE}\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)得到\(\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}\times\left( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{a}{2}-\frac{b}{16}+\frac{3\sqrt{21}}{16}b+\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{3\sqrt{7}}{16}b-\frac{\sqrt{3}}{16}b\right)i\)

(4) \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}=\frac{a}{2}+\frac{b}{16}+\frac{3\sqrt{21}}{16}b+\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{3\sqrt{7}}{16}b-\frac{\sqrt{3}}{16}b\right)i\)

(5) \(\overrightarrow{BF}\) 的实部与虚部必然满足直线AC方程，从而得到 \(a{,}b\)关系式
\(\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{3\sqrt{7}}{16}b-\frac{\sqrt{3}}{16}b=-\frac{5\sqrt{7}}{9}\left( \frac{a}{2}+\frac{b}{16}+\frac{3\sqrt{21}}{16}b\right)+\frac{20\sqrt{7}}{9}\)
\(\Rightarrow b=-\frac{9\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5\sqrt{7}}{18}\right)a}{2\left( 3\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)}+\frac{10\sqrt{7}}{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}\)

(6) 正三角形边长即 \(\left| \overrightarrow{DE}\right|=\sqrt{\left( a-\frac{b}{8}\right)^2+\left( \frac{3\sqrt{7}}{8}b\right)^2}\)

(7) 将 \(b\) 代入（6）式消去 \(b\)，被开方式是关于\(a\)的开口向上的抛物线(如下图)，当 \(a=\frac{5}{301}\left( 33\sqrt{21}-49\right)=1.6980896666701...\)时，被开方式取得最小值 \(\frac{225}{344}\left( 77-15\sqrt{21}\right)\)，所以正三角形边长最小值为  \(\sqrt{\frac{225}{344}\left( 77-15\sqrt{21}\right)}=\frac{15}{172}\sqrt{86\left( 77-15\sqrt{21}\right)}=2.32454486012981263...\)

陈九章

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陈九章