\(\huge^\star\textbf{ 定理: }\color{green}{\textbf{正整数的倒数皆}>0}\)新

elim

【定理】\(\forall n\in\mathbb{N}\,({\large\frac{1}{n+1}}>0)\)
【证明】对\(n=1,2\) 有\(\small\dfrac{1}{n}\ge\dfrac{1}{2}>0\), 假定\(\small\dfrac{1}{n}>0\) 对某
\(\qquad\)正整数\(\,n\) 成立, 则因 \(2n=n+n\ge n+1\) 得
\(\qquad\small\dfrac{1}{n+1}\ge\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{n}>0\) (二正数的积是正数)
\(\qquad\)于是 \(\small\dfrac{1}{n}>0\implies\dfrac{1}{n+1}>0\) 得证. 由归纳法(即
\(\qquad\)Peano公理第五条)知: 正自然数的倒数皆为正\(.\,_\blacksquare\)

【推论】自就数皆有限.
【证明】若不然, 有无穷大自然数 n, 则 \({\large\frac{1}{n}}=0\) 矛盾！

【评注】称正整数的倒数皆为正这一常识为定理,  是
为了强调它是现行数学中可被严格证明因而被肯定的
一个基本断言.  它与自然数皆有限数在逻辑上是等价
的 (n 分之一是正数当且仅当 n 有限).  这断言虽重要
(基本), 但因过于简单而被普遍忽略. 被当作不言而喻
的东西. 甚至数学基础的教课书作者普遍不提它而使
用这个常识.  我在本版块强调这个断言是要拨乱反正:
本版块出了一个反数学的狗屎食家:  老痴春风晚霞．