$\Huge\textbf{定理}:\,\underset{n\to\infty}{\lim}n\not\in\mathbb{N}$

elim

从分析的观点看这个定理是显然的：因为$\{n\}$
非柯西序列, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n$不存在, 当然就不是自然数.
这个定理是要指出，在更底层的集论意义下
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n$ 仍然不是自然数. 在集论中自然数由递
归式给出 $\small 0=\phi, n+1=n\cup\{n\}=\{0,\ldots,n\}$
自然数间的大小关系等价于真扩集/子集关系.
由此即知自然数序列作为严格增序列的极限是
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\bigcup_{n=1}^\infty\{0,\ldots,n\}=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}$.
这里第一个等号从集合升列的极限的集论公式
得到，最后一个等号自然数的集论序关系约定
及上确界定义给出. 由自然数的集论构造, 自然
数皆$\mathbb{N}$的真子集，故$\color{red}{\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}}$.
【定理】$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}$ 的以上论
$\quad$证以皮亚诺公理为据. 自然数的集论表达式,
$\quad \mathbb{N}$无最大元论断需要全部皮亚诺公理支撑．

【注记】康托的基数理论及序数理论是对皮亚
$\quad$诺的自然数理论从有穷基数全体向一般基数,
$\quad$从有限序数全体向一般序数的扩展. 皮亚诺
$\quad$意义下的自然数全体是$\mathbb{N}$. 一切不在$\mathbb{N}$中的元
$\quad$素必有不合皮亚诺公理之处. 康托从来没有称
$\quad$他的超穷数为自然数. 也没有任何书著称$\mathbb{N}$含
$\quad$非有穷元素．


楼上定理的约简版
【定理】$v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n =\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}.$$\\$
【证明】据皮亚诺公理, 若$v\in\mathbb{N}$, 则其后继$m$亦然．
$\qquad\quad$得矛盾 $v=\sup\mathbb{N}\ge m=v+1>v.\quad\square$
【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数．

春风晚霞

由皮亚诺公理得自然数的递归集($\dagger$)$0=\phi$，$n+1=n\cup\{n\}=\{0，…，n\}$得$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in$$\{0，1，2，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=$$\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+1)$,【自然数皆为$\mathbb{N}$的真子集】尚等证明，不能作为论据！你说了半天，并没有说清楚什么是自然数？为什么$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$不是自然数？难道这就是你的底层逻辑？是的，$\mathbb{N}$无最大元。试问elim你见过哪 家的数学理论中有最大无穷大，较大无穷大，最小无穷大的提法？谁是白痴岂不显而易见？关于【孬种使用 lim n 而给不出其定义已经两年了】真是扯淡！两年来我多次用康托尔的“数$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们汇集所成的整体“，这算得上是对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的定义了吧？

春风晚霞

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春风晚霞

由皮亚诺公理得自然数的递归集($\dagger$)$0=\phi$，$n+1=n\cup\{n\}=\{0，…，n\}$得$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in$$\{0，1，2，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=$$\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+1)$,【自然数皆为$\mathbb{N}$的真子集】尚等证明，不能作为论据！你说了半天，并没有说清楚什么是自然数？为什么$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$不是自然数？难道这就是你的底层逻辑？是的，$\mathbb{N}$无最大元。试问elim你见过哪 家的数学理论中有最大无穷大，较大无穷大，最小无穷大的提法？谁是白痴岂不显而易见？关于【孬种使用 lim n 而给不出其定义已经两年了】真是扯淡！两年来我多次用康托尔的“数$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们汇集所成的整体“，这算得上是对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的定义了吧？

春风晚霞

由皮亚诺公理得自然数的递归集($\dagger$)$0=\phi$，$n+1=n\cup\{n\}=\{0，…，n\}$得$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in$$\{0，1，2，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=$$\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+1)$,【自然数皆为$\mathbb{N}$的真子集】尚等证明，不能作为论据！你说了半天，并没有说清楚什么是自然数？为什么$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$不是自然数？难道这就是你的底层逻辑？是的，$\mathbb{N}$无最大元。试问elim你见过哪 家的数学理论中有最大无穷大，较大无穷大，最小无穷大的提法？谁是白痴岂不显而易见？关于【孬种使用 lim n 而给不出其定义已经两年了】真是扯淡！两年来我多次用康托尔的“数$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们汇集所成的整体“，这算得上是对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的定义了吧？

春风晚霞

由皮亚诺公理得自然数的递归集($\dagger$)$0=\phi$，$n+1=n\cup\{n\}=\{0，…，n\}$得$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in$$\{0，1，2，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=$$\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+1)$,【自然数皆为$\mathbb{N}$的真子集】尚等证明，不能作为论据！你说了半天，并没有说清楚什么是自然数？为什么$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$不是自然数？难道这就是你的底层逻辑？是的，$\mathbb{N}$无最大元。试问elim你见过哪 家的数学理论中有最大无穷大，较大无穷大，最小无穷大的提法？谁是白痴岂不显而易见？关于【孬种使用 lim n 而给不出其定义已经两年了】真是扯淡！两年来我多次用康托尔的“数$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们汇集所成的整体“，这算得上是对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的定义了吧？

春风晚霞

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春风晚霞

由皮亚诺公理得自然数的递归集($\dagger$)$0=\phi$，$n+1=n\cup\{n\}=\{0，…，n\}$得$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in$$\{0，1，2，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=$$\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+1)$,【自然数皆为$\mathbb{N}$的真子集】尚等证明，不能作为论据！你说了半天，并没有说清楚什么是自然数？为什么$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$不是自然数？难道这就是你的底层逻辑？是的，$\mathbb{N}$无最大元。试问elim你见过哪 家的数学理论中有最大无穷大，较大无穷大，最小无穷大的提法？谁是白痴岂不显而易见？关于【孬种使用 lim n 而给不出其定义已经两年了】真是扯淡！两年来我多次用康托尔的“数$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们汇集所成的整体“，这算得上是对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的定义了吧？

春风晚霞

       因为我们多次证明$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$是一个确定的自然数，所以$v$的前趋$(v-1)$和后继$(v+1)$都是自然数(皮亚诺公理第二条)。另一方面如果仅从取值看$(v-1)=$$\infty-1=\infty$，$(v+1)=\infty+1=\infty$.所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty\pm 1$。同理我们还可证得$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty\pm j$(j为有限自然数）！
       elim先生认为$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$反皮亚诺公理，这是故意装疯卖傻。我相信elim先生还是读得懂“每个确定的自然数$a$，都有确定的后继$a＇$，$a＇$也是自然数！所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$$=\infty=\infty\pm 1$并不反皮亚诺公理，真正反皮亚诺公理的是elim先生的“底层逻辑”！

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-24 16:36
elim，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的定义无需我再给出，任何一本《实变函数论》教科书中均有它 ...

孬种被迫承认教科书 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\infty=\infty\pm 1$
因$\color{red}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}n}$ 前趋=后继反皮亚诺, 它不是自然数．
以上区区二行驱使孬种重返臭长反数学驴滚
蠢疯白痴真身被坐实，孬种船漏不打一处来