合数公式，合数判断，求证:\(c=mt\)

太阳

已知:\(9a^2+3ab+3a+b=c\)，\(b\ne c\)，\(b\ne2-c\)
整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，奇数\(c＞1\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)
求证:\(c=mt\)
已知:\(9a^2+3ab+3a+b\ne c\)，\(b\ne c\)，\(b\ne2-c\)
整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，奇数\(c＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(c=p\)

yangchuanju

已知：2a±b=c，素数a≥3，奇数b≥1，求证：c中总有无穷多个素数。
例c=2a+b
a  b        1        3        5        7        9        11
3        7        9        11        13        15        17
5        11        13        15        17        19        21
7        15        17        19        21        23        25
11        23        25        27        29        31        33
13        27        29        31        33        35        37
17        35        37        39        41        43        45
19        39        41        43        45        47        49
23        47        49        51        53        55        57
29        59        61        63        65        67        69
31        63        65        67        69        71        73

yangchuanju

太阳20250519命题
已知：2a^2-18a+3a=ac，c>a，整数b≠0，
奇数a>1，c>1，素数k>0，p>0，
求证：a=k，c=p

命题分析：
主方程不含参数b，规定b≠0，纯属画蛇添足；
主方程各项都含有参数a，a≠0，可消去一个a，并合并同类项：
主方程变成2a-15=c

令c=a，有a=c=15；
根据给定条件c>a有
a        c        a素性        c素性
17        19        prime         prime
19        23        prime         prime
21        27        3*7        3*3*3
23        31        prime         prime
25        35        5*5        5*7
27        39        3*3*3        3*13
29        43        prime         prime
31        47        prime         prime
33        51        3*11        3*17
35        55        5*7        5*11
37        59        prime         prime
39        63        3*13        3*3*7
41        67        prime         prime
43        71        prime         prime
45        75        3*3*5        3*5*5
47        79        prime         prime
49        83        7*7        prime
51        87        3*17        3*29
53        91        prime         7*13
55        95        5*11        5*19
57        99        3*19        3*3*11
59        103        prime         prime
61        107        prime         prime
63        111        3*3*7        3*37
65        115        5*13        5*23
67        119        prime         7*17
69        123        3*23        3*41
71        127        prime         prime
73        131        prime         prime
75        135        3*5*5        3*3*3*5
77        139        7*11        prime
79        143        prime         11*13
81        147        3*3*3*3        3*7*7
83        151        prime         prime
85        155        5*17        5*31
87        159        3*29        3*53
89        163        prime         prime
91        167        7*13        prime
93        171        3*31        3*3*19
95        175        5*19        5*5*7
97        179        prime         prime
99        183        3*3*11        3*61
101        187        prime         11*17
103        191        prime         prime
……
997        1979        prime         prime
999        1983        3*3*3*37        3*661
1000以内共有42组，有效a和c中各有19个素数，都占45.2%；                       
1000以内共有492组，有效a和c中分别有162和150个素数，占32.9%和30.5%；                       
随着数字基数的增大，a和c中的素数分率都要逐渐减小！                       

yangchuanju

已知：9a^2+3ab+3a+b=c，a、b、c∈Z，a≠0，
求证：c中涵盖除2和3以外是全部素数。

太阳

1楼主帖，没有意义，方程没有求根公式，无法快速判断素数

yangchuanju

太阳 发表于 2025-5-22 11:13
1楼主帖，没有意义，方程没有求根公式，无法快速判断素数

1楼命题，不是没有意义，而是别具一格——开辟了“当×××≠c，c就是素数”的素数判断先河！

yangchuanju

已知：9a^2+3ab+3a+b=c，整数a≠0，奇数c>1，
求证：c≠9,27,81，……
令c=3^k，则9a^2+3ab+3a+b=c，3a(3a+b)+(3a+b)=(3a+1)*(3a+b)=3^k，
由等号后3^k是3的幂数，等号前3a+1不是3的幂数，即是3a+b是3的幂数，(3a+1)*(3a+b)也不会是3的幂数，故c≠9,27,81，……。

yangchuanju

由于c≠3,9,27,81，……，故太阳命题9a^2+3ab+3a+b≠c，c就是素数，不可能成立！

太阳

1楼，命题没有意义，方程没有求根公式，判断方程有没有整数解，难度极大

太阳

1楼命题，方程有没有整数解，c是不是素数决定的，命题没有意义