\(\huge\color{red}{证明:自然数皆有限数是一个伪命题！}\)

春风晚霞

       AI自然数的定义为：\(\mathbb{N}=\{0，1，2，3，…\}\) .它是一个可列无限集，意味着它的元素个数无限，但每个自然数都是有限数，我们可以一个接一个地数出来。对于任何自然数n，我们总能找到一个更大的自然数n+1，但是这个过程永远不会“到达”一个无穷大的数。
       理解这个定义应当抓住两个要点①、自然数集是可列无限集，意味着它的元素个数无限；②、每个自然数都是有限数，意味着不存在\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty\)\(\in\mathbb{N}\).一旦抓住这两个要点，我们将立即发现AI对定义地解读不自洽！
       现在我们证明命题：若\(\mathbb{N}\)中元素有无限多个，则必存在\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty\)\(\in\mathbb{N}\) .
       【证明：】因为自然数列0，1，2，3，4，…是公差为1（即d=1），首项\(a_1=0\),项数\(n \to \infty\)的等差数列，所以根据等差数列首项、公差、项数与末项项的关系：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入\(a_1和d\)的值并化简，我们有：\(a_n=n\)（★），对（★）式两端取极限得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\);所以若\(\mathbb{N}\)中元素有无限多个，则必存在\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty\in\mathbb{N}\)！
       事实上对任意的有限数k,都有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_{n-k}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-k)=\infty\)!所以自然数皆有限数是一个伪命题！【证毕】

elim

孬种认为\(\mathbb{N}\)对其中序列的取极限操作是封闭的．
它有什么理由这么认为？其实孬种至今还是没
有定义是\(\underset{n\to\infty}{\lim}a_n\) 是什么，它跟分析中的极限
有何区别．为什么分析中的\(\infty=\infty+1\)不是自然数？

春风晚霞

elim孬种质疑【对\(\mathbb{N}\)中序列取极限操作是封闭的】？它所依据的理由就是自然数列是数列是数列的特殊形式。所以对自然数列操作封闭这是再正常不过的事了。我也曾多次证明过〖若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)〗这个理由够充分了吧？你不是多次用这种方法“证明”\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)吗？至于\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的定义，就在今天我就给出了不少于10次了。你不是号称精通集合论吗？那么多的教科书对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)都有说明，你为什么不去读一读呢？elim先生，康托你关于\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的定义，你都要质疑，你还要我给你什么定义呢？至于《数学分析》中的\(∞=∞+1\)只是数值上考虑\(∞\)与\(∞+1\)根本不涉及自然数的序数。由于在自然数理论中不仅需要考察自然数的值(基数），还要考虑在哪个位置上取得这个值（序数），所以虽然\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)和\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_{n-k}\)的值都是∞，但它们确实又是不同的自然！

春风晚霞

命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)

【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}【证毕】