\(\Huge\color{red}{也说孬种不敢面对\lim n的问题之一}\)

春风晚霞

       现行教科书对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)的定义都是明确自洽的 .如北大周民强《实变函数论》P9页；吉林师大方嘉琳《集合论》P45页；清华大学陈景良《近代分析数学概要》P40页；复旦大学夏道行《实变函数与泛函分析》P9页；…这些教材的定义都是明确一致的 。对于单调递增集列都有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}a_n\)这种唯一的表达式。特别的对于单增集列：\(A_1=\{1\}\)，\(A_2=\{1，2\}\)，\(A_3=\{1，2，3\}\)，……\(A_k=\{1,2,…k\}\)，……自然也有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\)\(\mathbb{N}\)。亦即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1,2,…，n\}\)\(\color{red}{=}\mathbb{N}\) .红色等号表示“=”号两端的集合相等！根据两集合相等的充分必要条件，我们有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n\)\(\subseteq\mathbb{N}\)且\(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n\)。因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1,2,…n\}=\)\(\{1,2,…\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)。 从而再次证得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)\(\in\mathbb{N}\)。
       根据上面的分析关注该板块的网友自然知道，究竟是哪个孬种不敢面对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的问题！

春风晚霞

       由冯\(\cdot\)诺依曼自然数定义（或自然数生成法则）得：\(0=\phi\)，\(1=\{0\}\)，\(2=\{0，\)\(1\}\)，\(3=\{0，1，2\}\)，…，\(k=\{0，1，2，…（k-1)\}\),…  .
       两端分别求并得:\(\displaystyle\bigcup_{k=0}^{\infty}k=\)\(\displaystyle\bigcup_{k=0}^{\infty}\{\phi,0,1,2,3,…,(k-1)\}\) .所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1,2,…,n\}=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{\phi,0,\)\(1,2,3,…,\)\((n-1)\}\).
       若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\),则\(\mathbb{N}\cap\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{\phi,1,2,…n\}=\)
\( \mathbb{N}\cap\displaystyle\bigcup_{n=0}^{\infty}\{\phi,0,1,2,3,…,(n-1)\}=\)\( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathbb{N}\)\(\cap\{\phi,0,1,2,\)\(3,…,(n-1)\}=\phi\).所以\(\mathbb{N}\cap\{\phi\}=\)\(\mathbb{N}\cap\{\phi,0\}=\)\(\mathbb{N}\cap\{\phi,0,1,2\}=\)……\(=\mathbb{N}\cap\{\phi,0,1,2，…(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1)\}=\phi\),所以\(\mathbb{N}=\phi\),这与\(\mathbb{N}\ne\phi\)矛盾！所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\in\mathbb{N}\)