求无穷级数之和 ∑(n=1,∞)n^2／4^n

wintex

王守恩

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{4^n}=\frac{20}{27}\)

Table[Sum[n^a/(2 a)^n, {n, infty}], {a, 9}]——主帖是a=2

\(2, \frac{20}{27}, \frac{366}{625}, \frac{10440}{16807}, \frac{142870}{177147}, \frac{23961756}{19487171}, \frac{1745610902}{815730721}, \frac{3556490576}{854296875}, \frac{17979203734218}{2015993900449}, \cdots\cdots\)

Table[Sum[n^a*(2 a - 1)^(a + 1)/((2 a)^n*(2 a)), {n, infty}], {a, 9}]——变化一下——把分母去掉。

{1, 5, 61, 1305, 42861, 1996813, 124686493, 10002629745, 998844651901, ......}——OEIS没有这串数——当然 "2" 是可以换掉的。

Future_maths

设\(f\left( x\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4^n}\)

Future_maths

\(f\left( x\right)=\frac{4}{4-x}\)

Future_maths

然后求\(\frac{d}{dx}\left[ x\frac{df}{dx}\right]\)

luyuanhong

天山草

以下是豆包的解答：

天山草

另外两个智能助手，DeepSeek 和 kimi 也都给出了与豆包几乎一样的解答。只有智能助手 智谱清言 解答错误。

王守恩

\(接2楼。好玩!\ \ \ 把\ \ \infty\ \ 去掉?\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{4^n}=\frac{20}{27}\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^a}{(2a)^n}=\frac{?}{?}\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^a}{(k*a)^n}=\frac{?}{?}\)

王守恩

\(接楼上。好玩!\ \ \ 可以把\ \ \infty\ \ 去掉!!\ \ \ 且一次到位!!!\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^A}{B^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{A}\frac{StirlingS2[A, n]\cdot n!\cdot B}{(B-1)^{n+1}}\)

\(\displaystyle\sum_{n=R}^{\infty}\frac{n^A}{B^n}=\ \frac{?}{?}\ \ \ \ \ R=任意正整数\)