\(\Huge\color{red}{\textbf{定理 } \forall n\in\mathbb{N}\,(n< n+1)}\)

elim

【定理】\(\forall n\in\mathbb{N}\,(n< n+1)\) (自然数小于其后继)\(\\\)
【证明】令\(S=\{ n\in\mathbb{N}: n< n+1\}\)为小于其后继\(\\\)
\(\qquad\)的自然数全体. \(\because\;\;0< 1=0+1,\;\;\therefore\;\;0\in S;\)\(\\\)
\(\qquad\)易见 \(n< n+1\implies (n+1)< (n+1)+1\)即\(\\\)
\(\qquad\; n\in S\implies n+1\in S\) 据 Peano 公理第五条,\(\\\)
\(\qquad\; S=\mathbb{N}\) 即自然数皆小于其后继．\(\quad\square\)\(\\\)
【推论】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n=\infty=\infty+1\) 不是自然数．

elim

这个定理很简单，近乎费话，
但因屡遭搅局反而变得重要起来．

春风晚霞

elim，你的\(\forall n\in\mathbb{N}\)的\(\forall\)包括\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)吗？若不包括，\(\forall\)还是\(\forall\)吗？若包括那么从数值上看便有\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)=\infty+1\)!

春风晚霞

皮亚诺公理笫二条：每一个确定的自然数a，都具有\(\color{red}{确定的后继数a' ，a'也是自然数}\)（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）)

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-27 03:37
elim，你的\(\forall n\in\mathbb{N}\)的\(\forall\)包括\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)吗？若不 ...

也知道\(v\)等于其后继, 但没看懂主贴. 哈哈

春风晚霞

命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)

【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】
         因为在自然数理论中，\(v\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是一个确切的数，所以\(v-有限数k\)也是确切的数。因此有限数k是\(v\)的\(v-k\)代前趋，即\(v-(v-k)=k\)！

春风晚霞

根据皮亚诺公理笫二条：每一个确定的自然数a，都具有\(\color{red}{确定的后继数a' ，a'也是自然数}\)（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）)【自然数皆小于其后继】，自然数的后继也是自然，a的后继自然数a+1<a+1吗？

春风晚霞

《数学分析》中确实有\(\infty=\infty\pm j\)，但自然数理论(皮亚诺公理，康托尔正整生成法则、冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法)的\(v-2=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-2=\infty-2\)、\(v-1=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1=\infty-1\)、\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty\)它们都是自然数(否则自然数集\(\mathbb{N}=\phi\))！并且\(\infty-2<\infty-1<\infty\)。这是因为自然数理论中的\(\infty\)是基数和序数(即量值与序号)的统一表示，是一个确定的自然数。而《数学分析》的\(\infty\)是集合。所以【推论】\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty+1\)不是自然数是不严谨也不自洽的。

春风晚霞

命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)
【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}【证毕】
         因为在自然数理论中，数\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)“既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体”（康托尔语）。所以\(v减有限数k\)也是确切的计数。因此有限数k是\(v\)的\(v-k\)代前趋，即\(v-(v-k)=k\)！所以\(v\notin\mathbb{N}\)时、\(v-(v-k)\)\(\notin\mathbb{N}\),当k=2时，\(v-(v-2)\notin\mathbb{N}\)即\(2\notin\mathbb{N}\)！

elim

楼上顾左右而言他，还是回到主贴
【定理】\(\forall n\in\mathbb{N}\,(n< n+1)\) (自然数小于其后继)\(\\\)
【证明】令\(S=\{ n\in\mathbb{N}: n< n+1\}\)为小于其后继\(\\\)
\(\qquad\)的自然数全体. \(\because\;\;0< 1=0+1,\;\;\therefore\;\;0\in S;\)\(\\\)
\(\qquad\)易见 \(n< n+1\implies (n+1)< (n+1)+1\)即\(\\\)
\(\qquad\; n\in S\implies n+1\in S\) 据 Peano 公理第五条,\(\\\)
\(\qquad\; S=\mathbb{N}\) 即自然数皆小于其后继．\(\quad\square\)\(\\\)
【推论】\(\color{red}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} n=\infty=\infty+1}\) 不是自然数．