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定理 nN(n<n+1)

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发表于 2025-5-27 20:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 elim 于 2025-5-27 06:00 编辑

【定理】nN(n<n+1) (自然数小于其后继)
【证明】令S={nN:n<n+1}为小于其后继
的自然数全体.
\qquad易见 n< n+1\implies (n+1)< (n+1)+1
\qquad\; n\in S\implies n+1\in S 据 Peano 公理第五条,
\qquad\; S=\mathbb{N} 即自然数皆小于其后继.\quad\square
【推论】\displaystyle\color{red}{\lim_{n\to\infty} n=\infty= \lim_{n\to\infty} n +1} 不是自然数.
 楼主| 发表于 2025-5-27 21:25 | 显示全部楼层
主贴定理很简单,近乎费话,
因屡遭搅局反而变得重要起来.
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发表于 2025-5-27 21:31 | 显示全部楼层

命题:若\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N},则\mathbb{N}=\phi

【证明:】
\begin{split} &\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\ &\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N},Peano axiom第二条)\\ &\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\ &\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\ &\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N,}Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N}) \end{split}
【证毕】
         因为在自然数理论中,v\displaystyle\lim_{n \to \infty}n是一个确切的数,所以v-有限数k也是确切的数。因此有限数k是vv-k代前趋,即v-(v-k)=k
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发表于 2025-5-27 21:56 | 显示全部楼层
根据皮亚诺公理笫二条:每一个确定的自然数a,都具有\color{red}{确定的后继数a' ,a'也是自然数}(数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数(a+1))【自然数皆小于其后继】,自然数的后继也是自然,a的后继自然数a+1<a+1吗?
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发表于 2025-5-28 00:00 | 显示全部楼层
《数学分析》中确实有\infty=\infty\pm j,但自然数理论(皮亚诺公理,康托尔正整生成法则、冯\cdot诺依曼自然数构成法)的v-2=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-2=\infty-2v-1=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1=\infty-1v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty它们都是自然数(否则自然数集\mathbb{N}=\phi)!并且\infty-2<\infty-1<\infty。这是因为自然数理论中的\infty是基数和序数(即量值与序号)的统一表示,是一个确定的自然数。而《数学分析》的\infty是集合。所以【推论】\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty+1不是自然数是不严谨也不自洽的。
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发表于 2025-5-29 06:26 | 显示全部楼层

命题:若\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N},则\mathbb{N}=\phi
【证明:】
\begin{split} &\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\ &\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N},Peano axiom第二条)\\ &\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\ &\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\ &\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N,}Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N}) \end{split}【证毕】
         因为在自然数理论中,数v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n“既表示把一个个单位放上去的确切计数,又表示它们所汇集成的整体”(康托尔语)。所以v减有限数k也是确切的计数。因此有限数k是vv-k代前趋,即v-(v-k)=k!所以v\notin\mathbb{N}时、v-(v-k)\notin\mathbb{N},当k=2时,v-(v-2)\notin\mathbb{N}2\notin\mathbb{N}
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发表于 2025-5-29 14:02 | 显示全部楼层

命题:若\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N},则\mathbb{N}=\phi
【证明:】
\begin{split} &\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\ &\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N},Peano axiom第二条)\\ &\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\ &\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\ &\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N},Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N,}Peano axioms第二条)\\ &\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N}) \end{split}【证毕】
         因为在自然数理论中,数v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n“既表示把一个个单位放上去的确切计数,又表示它们所汇集成的整体”(康托尔语)。所以v减有限数k也是确切的计数。因此有限数k是vv-k代前趋,即v-(v-k)=k!所以v\notin\mathbb{N}时、v-(v-k)\notin\mathbb{N},当k=2时,v-(v-2)\notin\mathbb{N}2\notin\mathbb{N}
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发表于 2025-5-29 14:02 | 显示全部楼层

       《数学分析》中确实有\infty=\infty\pm j,但自然数理论(皮亚诺公理,康托尔正整生成法则、冯\cdot诺依曼自然数构成法)的v-2=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-2=\infty-2v-1=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1=\infty-1v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty它们都是自然数(否则自然数集\mathbb{N}=\phi)!并且\infty-2<\infty-1<\infty。这是因为自然数理论中的\infty是基数和序数(即量值与序号)的统一,是一个确定的自然数。而《数学分析》的\infty是集合、是变化趋势。所以【\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty+1不是自然数】,是不严谨也不自洽的。
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发表于 2025-5-29 15:25 | 显示全部楼层
在实正整数列1,2,3,……\nu\omega\omega+1\omega+2,……中,康托尔说“数\nu既表示把一个个单位放上去的确切计数,又表示它们所汇集成的整体“(参见康托尔著《超穷数理论基础》P42页19—20行)所谓把一个个单位放地去意即:数\nu的基数\nu=\overbrace{1+1+……+1}^{\displaystyle\lim_{n \to \infty}n个1},数\nu的序数就是实正整数列1,2,3,……\nu\omega\omega+1\omega+2,……中表示第\nu号。所以所以数\nu既是基数也是序数。正整数10既表自然数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……既表示它的值是10个单位,也表示它是10号位置的自然数。\aleph_0j是可列集的势,它与\nu没有直接联系。\nu是第一个超穷正整数集的初始元,它没有直接前趋。所以数\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n既不是\aleph_0,也不是数\omega!elim主帖中的【【定理】\aleph_0\omega不是任何自然数的后继】,说的倒是一句大实话!但以此证明\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N},确实像"因为女浴室中无男人,所以世间根本就没有男人"一样荒诞无稽。elim你不感到你的证明荒唐可笑吗?!
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 楼主| 发表于 2025-5-29 22:24 | 显示全部楼层
楼上顾左右而言他,还是回到主贴
【定理】\forall n\in\mathbb{N}\,(n< n+1) (自然数小于其后继)\\
【证明】令S=\{ n\in\mathbb{N}: n< n+1\}为小于其后继\\
\qquad的自然数全体. \because\;\;0< 1=0+1,\;\;\therefore\;\;0\in S;\\
\qquad易见 n< n+1\implies (n+1)< (n+1)+1\\
\qquad\; n\in S\implies n+1\in S 据 Peano 公理第五条,\\
\qquad\; S=\mathbb{N} 即自然数皆小于其后继.\quad\square\\
【推论】\color{red}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} n=\infty=\infty+1} 不是自然数.
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\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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