\(\Huge\color{red}{\textbf{自然数皆有限数}}\)

elim

由Wiki词条【有限集】是其元素个数为某自
然数的集合.  确切说来, 有限集合是与某形如
\({\small I_n:=\{0,1,\ldots,n-1\}}\big({\small n(\in\mathbb{N})}\)底层集合指称\(\big)\)
对等(同势)的集合,\(\:\small I_n\)的元素个数\( n\)也被用来
表示与\(\small I_n\)等势的集合的基数.  
所有这些定义及约定的合理性,均建筑在命题
\(\color{red}{ I_n\small\,(n\in\mathbb{N})}\)是Dedekind意义上的有限集
为真这点上. 下面是证明：\(\;\;\)易见命题蕴涵链
\(\small(I_n\simeq A\subsetneq I_n)\implies \exists m< n\,(I_n\simeq I_m)\implies\)
\(\small\exists m< n,\,f\in I_m^{I_n}\,(I_n\underset{\scriptsize f}{\simeq} I_m)\wedge({\scriptsize f(n-1)=m-1})\)
\(\small\implies\exists m< n(I_{n-1}\simeq I_{m-1})\)构成下命题的证明：
若\(\color{red}{I_n}\)是无穷集, 则\(\color{red}{I_{n-1}}\)亦然.\(\quad\)其逆否命题是
\(\color{red}{\small(\dagger)}\,\)若\(\small\color{red}{I_m}\)为有限集, 则\(\small\color{red}{I_{m+1}}\)亦然.\(\;\,\)运用\(\small(\dagger)\)及数
学归纳法即得\(I_n\)为有限集\(\small(\forall n\in\mathbb{N})\). 自然数皆
为有限数, 自然数既是有限基数又是有限序数.
至此定理 \(\color{red}{\mathbb{N}}\)不含超限数已得证.
不论把 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\) 视为有限序数升列所决定的首
个极限序数\(\,\small\omega\), 还是可数多个\(\small\,1\,\)的和\(\;\small=\aleph_0\times 1\)
\(\small=\aleph_0,\;\)它都是超限数因而不是自然数.\(\;\)在标准
分析中\(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)有一个符号\(\small\infty\,\)解读, 明说它在 \(\mathbb{R}\)
(因而在\(\mathbb{N}\))之外.

【注】最小超穷序数\(\omega=\mathbb{N}\). 参见程极太【集合论】
【注】戴德金(Richard Dedekind)集合有穷无穷释义．
\(\qquad\quad\)一个集合无穷当且仅当它有真子集与之对等；
\(\qquad\quad\)一个集合有穷当且仅当它无真子集与之对等．

春风晚霞

命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)

【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】
         因为在自然数理论中，\(v\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是一个确切的数，所以\(v-有限数k\)也是确切的数。因此有限数k是\(v\)的\(v-k\)代前趋，即\(v-(v-k)=k\)！