从对数函数的三种定义看极限的重要性

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从对数函数的三种定义看极限的重要性

原创  NERV000  有条有梅  2025 年 04 月 26 日 19:31  河南

      对数函数的定义，我能想到的，有三种。第一种是用级数来定义对数函数；第二种是用定积分来定义，即用积分上限函数定义对数函数和自然常数 e ；第三种，则是用极限来定义对数函数，即：



     前两种都是是我们都很熟悉的定义。第三种定义，有一个问题，是值得说明一下的，即，它是否具有对数函数所有的性质。下面，我们就挑一个对数函数最常见的性质，看它是否能从第三种定义推出，即：



    证明的过程也很简单，只用到的极限的常见的运算法则，即：



Remark ：对数函数的这三种定义，虽然形式上差别很大，但实际上都指向同一个函数。而这三种定义，貌似有一个共同点，就是都与极限有关，只是趋向于极限的快慢，方式不同而已。尽管中间的过程不同，而到最后，却以不同的方式，趋向于同一个极限。这也就是为什么，极限这一定义，极其重要。

有条有梅