为什么满足 u(tx1,…,txn)=t^αu(x1,…,xn) 的 u 是 x1du/dx1+…+xndu/dxn=αu 的解？

fm1134

陈恕行老师《偏微分方程概论》里的一个问题







具体内容可参见陈恕行老师的《偏微分方程概论》第3页，人民教育出版社，1981年版。

luyuanhong

fm1134

非常感谢陆老师的解答！
还有点疑问。

luyuanhong

fm1134

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由于书中（1。3）式是（1。4）式对t求导后当t=1时的一个特例，因此，（1。3）的解一定满足（1。4），而（1。4）的解未必一定满足（1。3），比如：（1。4）对t求导后当t=2时的解，应该不满足（1。3）。也就是说，（1。3）的解的范围比（1。4）的解的范围要小一些，（1。3）的解是（1。4）的解的一个子集。
不知这样理解是否正确？

fm1134

luyuanhong 发表于 2025-6-19 10:56

4楼帖子中，（2）式是由（1）式对t求导得到的，对所有t都成立，因此，（2）式是普适成立的，（3）式只是（2）式当t=1时的一个特例，因此（3）式只有当t=1时，才和（2）式等价，其它情况下，（2）和（3）并不等价。
综上所述，只有当t=1时，（1）式才是（3）式的解，当t不等于1时，（1）式未必是（3）式的解。
上面的逻辑关系是显而易见的，可为什么教科书中都把t=1时的特例情形当作普适情形了呢？
把特例当作一般情形，这在逻辑上是的错误是显而易见的。
陆老师所说的，由于（2）式对所有t都成立，因此对t=1时也成立，于是得到（3）。
（3）式成立没有问题，问题是只有当t=1时，（3）才成立，t取其它值时，从（2）并不能得到（3），因此，当t取其它值时，（1）未必都是（3）的解。

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luyuanhong 发表于 2025-6-19 10:56

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luyuanhong 发表于 2025-6-19 10:56

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不好意思，发重复了，麻烦版主删掉一个吧。